专题能力训练21 函数与方程思想(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若关于x的方程ax+=3的正实数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,0)B.(-∞,0]∪{2}C.[0,+∞)D.[0,+∞)∪{-2}2.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则=( )ABCD3.函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为( )A.4B.5C.6D.74.若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)-的值域是( )ABCD5.(2022浙江嘉兴一模)已知函数f(x)=3sin(3x+φ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有( )A.2个B.3个C.4个D.5个6.已知实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=1,则a+2b的最大值是( )AB.2CD.37.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=10-|x|在上根的个数是( )A.4B.6C.8D.108.已知函数f(x)=则方程f=1的实根个数为( )A.8B.7C.6D.5二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.对于满足0≤p≤4的实数p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是 . 10.已知x,y,且有2sinx=siny,tanx=tany,则cosx= . 11.已知向量a,b及实数t满足|a+tb|=3.若a·b=2,则t的最大值是 . 12.已知数列{an}的通项公式为an=25-n,数列{bn}的通项公式为bn=n+k,设cn=若在数列{cn}中,c5≤cn对任意n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是 . 13.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且tanB=,则tanB等于 . 14.(2022浙江金华十校4月模拟)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为 . 三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分30分)过离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,设|FA|=λ|FB|,T(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若1≤λ≤2,求△ABT中AB边上中线长的取值范围.3\n参考答案专题能力训练21 函数与方程思想1.B2.D 解析由题意可知a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.3.B 解析因为f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2,而sinx∈[-1,1],所以当sinx=1时,f(x)取最大值5,故选B.4.A5.C 解析令f(x)=3sin(3x+φ)=2,得sin(3x+φ)=∈(-1,1),又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],∴3x+φ∈[φ,3π+φ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.6.A7.B 解析由题意,可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,所以,在同一坐标系内,画出函数f(x),y=10-|x|=的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程f(x)=10-|x|在上根的个数,结合函数图象的对称性,在y轴两侧各有3个交点,故选B.8.C 解析令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,∵f=1,∴x+-2=3或x+-2=1或x+-2=或x+-2=-1.令g(x)=x+-2,则当x>0时,g(x)≥2-2=0,当x<0时,g(x)≤-2-2=-4,作出g(x)的函数图象如图所示:3\n∴方程x+-2=3,x+-2=1,x+-2=均有两解,方程x+-2=-1无解.∴方程f=1有6解.故选C.9.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析x2+px>4x+p-3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2-4x+3+p(x-1)>0对于0≤p≤4恒成立,所以一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在区间[0,4]上的最小值大于0,即所以x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).10. 解析由-cot2y=1,得=1,化为4cos2x=1,因为x∈,所以cosx=.11. 解析a·b=2⇒abcosθ=2(θ为a,b的夹角),|a+tb|=3⇒9=a2+t2b2+4t,∴9=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤,等号成立当且仅当|cosθ|=1.12.[-5,-3] 解析数列cn是取an和bn中的最大值,据题意c5是数列{cn}的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k或25-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3.13.2- 解析由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB,再由,得accosB=,∴tanB==2-.14.9-32 解析由xy+2z=1,可得z=.∴5=x2+y2+≥2|xy|+,当xy≥0时,x2y2+6xy-19≤0;当xy<0时,x2y2-10xy-19≤0.由x2y2+6xy-19≤0,解得0≤xy≤-3+2.由x2y2-10xy-19≤0,解得5-2≤xy<0.∴xyz=xy·=-,可得当xy=5-2时,xyz取得最小值为9-32.15.解(1)∵e=,c=1,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线的斜率为0时,显然不成立.②设直线l:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=.由|FA|=λ|FB|,得y1=-λy2.因为-λ+,所以-λ++2=.所以0≤m2≤.所以AB边上的中线长为|==.3
