题能力训练16 直线与圆一、能力突破训练1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )A.x-322+y2=254B.x+342+y2=2516C.x-342+y2=2516D.x-342+y2=2542.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为( )A.32B.25C.355D.343.(2022全国Ⅲ,理6)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( )A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D.[22,32]4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是( )A.1B.2C.3+1D.35.已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a= . 6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为 . 7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 . 11\n8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为点M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 . 9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=23,求直线MN的方程;(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求PA·PB的取值范围.10.已知圆O:x2+y2=4,点A(3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.11\n二、思维提升训练12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )A.3B.22C.5D.213.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( )A.(0,1)B.1-22,12C.1-22,13D.13,1214.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是 . 15.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|= . 16.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.11\n17.已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.11\n专题能力训练16 直线与圆一、能力突破训练1.C 解析因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.2.B 解析由题意,圆心为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h=d=|2+2×3-3|1+(-2)2=5,底边长为l=2r2-d2=29-5=4,所以S△ECF=12×4×5=25,故选B.3.A 解析设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤6.4.B 解析由题意知φ(a,b)=a2+b2+1,且(a,b)满足a2+b2-4a+3=0,即(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,a2+b2表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.5.0或12 解析当a=0时,l1⊥l2;当a≠0时,由-1a·2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=12.6.(x-1)2+y2=1 解析因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据|3×1+4×0+2|32+42=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.7.x2+(y-1)2=10 解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d=|4×0-3×1-2|5=1.∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,∴圆的半径r=12+32=10.∴圆方程为x2+(y-1)2=10.8.26-1 解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点11\nC的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=(2-1)2+(5-0)2=26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=26-1.9.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,即r=41+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|5.由垂径定理,得m25+(3)2=22,即m=±5.所以直线MN的方程为2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2·(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在圆O内,所以0≤x2+y2<4,x2-y2=2.由此得0≤y2<1.所以PA·PB的取值范围为[-2,0).10.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,故曲线Γ的方程为x24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,11\n则OB⊥AB.设B(x0,y0),则x0(x0-3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=23,y0=±23.则kOB=±22,kAB=∓2,则直线AB的方程为y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k2<1.解得4-73<k<4+73.所以k的取值范围为4-73,4+73.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.A 解析建立如图所示的平面直角坐标系,11\n则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.13.B 解析由题意可得,△ABC的面积为S=12·AB·OC=1,由于直线y=ax+b(a>0)与x轴的交点为M-ba,0,由-ba≤0可得点M在射线OA上.设直线和BC的交点为N,又直线BC的方程为x+y=1,则由y=ax+b,x+y=1,可得点N的坐标为1-ba+1,a+ba+1.11\n①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-ba=-1,且a+ba+1=12,解得a=b=13.②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于12,即12·|MB|·yN=12,即12·1+ba·a+ba+1=12,解得a=b21-2b>0,则b<12.③若点M在点A的左侧,则-ba<-1,b>a,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由y=ax+b,y=x+1,求得点P的坐标为1-ba-1,a-ba-1,此时,NP=1-ba+1-1-ba-12+a+ba+1-a-ba-12=-2(1-b)(a+1)(a-1)2+2a(b-1)(a+1)(a-1)2=4(1+a2)(1-b)2(a+1)2(a-1)2=2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2,此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为|0-1+b|1+a2=|b-1|1+a2,由题意可得,△CPN的面积等于12,即12·2|1-b||(a+1)(a-1)|1+a2·|b-1|1+a2=12,化简,得2(1-b)2=|a2-1|.由于此时0<a<1,∴2(1-b)2=|a2-1|=1-a2.两边开方可得2(1-b)=1-a2<1,则1-b<12,即b>1-22,综合以上可得,b=13符合题意,且b<12,b>1-22,即b的取值范围是1-22,12.14.[-52,1] 解析设P(x,y),由PA·PB≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.11\n由2x-y+5=0,x2+y2=50,可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-52,1].15.4 解析因为|AB|=23,且圆的半径R=23,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为R2-|AB|22=3.由|3m-3|m2+1=3,解得m=-33.将其代入直线l的方程,得y=33x+23,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|cos30°=4.16.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2×6-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.11\n(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤[(t+4)-6]2+(3-7)2≤5+5,解得2-221≤t≤2+221.因此,实数t的取值范围是[2-221,2+221].17.(1)证明由题设知,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化简,得x2-2tx+y2-4ty=0.当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或4t,则B0,4t,故S△AOB=12|OA|·|OB|=12|2t|·4t=4为定值.(2)解∵|OM|=|ON|,∴原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C,H,O三点共线,则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12,∴t=2或t=-2.∴圆心为C(2,1)或(-2,-1),∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.由于当圆的方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,舍去,故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.(3)解点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.又点B'到圆上点Q的最短距离为|B'C|-r=(-6)2+(-3)2-5=35-5=25,所以|PB|+|PQ|的最小值为25,直线B'C的方程为y=12x,则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为-43,-23.11
