综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=xx-12≤32,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于( ) A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为( )A.1B.52C.5D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2022浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.215\nB.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=( )A.67B.37C.89D.496.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是( )A.52B.62C.103D.27.已知函数f(x)=sin(πx2),-1<x<0,ex-1,x≥0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为( )A.1B.-22C.1,-22D.1,228.已知实数a,b,c.( )A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<10015\nD.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为 . 10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是 .(用数字填写答案) 11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为 . 12.在极坐标系中,直线4ρcosθ-π6+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 . 13.设变量x,y满足约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,则yx-1的最小值是 . 14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.15\n16.(13分)已知数列{an}中,a1=2,且an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=an2n-1,求数列{bn}的前n项和Sn.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.15\n(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.15\n19.(14分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:|NF1||MF1|为定值.15\n20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+a2x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,e<1+1n21+2n2…1+nn2<e.##综合能力训练1.A 解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+p2+2p,x1=1+p-p2+2p,y2=-p-p2+2p,x2=1+p+p2+2p,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A3-52,-1+52,B3+52,-1-52,OA2=x12+y12=5-25,OB2=x22+y22=5+25,△OAB的面积S=12|OA||OB|=52.故选B.3.C 解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,15\n∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C 解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=12×(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B 解析由题意得,输出的S为数列1(2n-1)(2n+1)的前3项和,而1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1,即Sn=121-12n+1=n2n+1.故当输入n=3时,S3=37,故选B.6.A 解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则(x1+x2)(x1-x2)a2-(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=1,∴b2a2=14,e2=1+b2a2=54.∴e=52.故选A.7.C 解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-22.若a∈[0,+∞),则ea-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-22.8.D 解析(举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2 解析(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,则1+b=a,1-b=0,所以a=2,b=1,即ab=2.故答案为2.15\n10.-40 解析(2x-1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1)r=(-1)rC5r25-rx5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)3C5325-3=-22C52=-40.11.3(2-3)π 解析∵AO1=3R1,C1O2=3R2,O1O2=R1+R2,∴(3+1)(R1+R2)=3,R1+R2=33+1,球O1和O2的表面积之和为4π(R12+R22)≥4π·2R1+R222=2π(R1+R2)2=3(2-3)π.12.2 解析∵4ρcosθ-π6+1=0,展开得23ρcosθ+2ρsinθ+1=0,∴直线的直角坐标方程为23x+2y+1=0.∵ρ=2sinθ两边同乘ρ得ρ2=2ρsinθ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=|23×0+2×1+1|(23)2+22=34<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1 解析由约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8作出可行域如图,联立x-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),yx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=2-03-1=1.14.②③ 解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=2,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15\n15.解(1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=1517.(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=417ac.又S△ABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×1+1517=4.所以b=2.16.解(1)由已知an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.an-n=2an-1-2n+2,即an-n=2[an-1-(n-1)].∵an-nan-1-(n-1)=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{an-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得an-n=(a1-1)·2n-1,即an=2n-1+n,∴bn=an2n-1=1+n2n-1.设cn=n2n-1,且前n项和为Tn,则Tn=120+221+322+…+n2n-1,①12Tn=121+222+323+…+n2n,②15\n①-②,得12Tn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-2+n2n.故Tn=4-2+n2n-1,Sn=n+4-2+n2n-1.17.解法一(1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=12BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=12PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=1+λ2,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-222=λ2+12,OG2=1+(2-λ)2-222=(2-λ)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2+12+λ2+12=4,解得λ=1±22,故存在λ=1±22,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).15\nBC1=(-2,0,2),FP=(-1,0,λ),FE=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP=(-1,0,1).因为BC1=(-2,0,2),所以BC1=2FP,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由FE·n=0,FP·n=0可得x+y=0,-x+λz=0.于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±22.故存在λ=1±22,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解(1)由已知,有P(A)=C31C41+C32C102=13.所以,事件A发生的概率为13.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C32+C32+C42C102=415,P(X=1)=C31C31+C31C41C102=715,P(X=2)=C31C41C102=415.所以,随机变量X的分布列为15\nX012P415715415随机变量X的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=23.∴椭圆C的标准方程为x216+y212=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为x0x16+y0y12=1,①直线F1P的斜率kF1P=y0x0+2,则直线MF1的斜率kMF1=-x0+2y0,直线MF1的方程为y=-x0+2y0(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2),②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,yM),N(-2,yN),点N在切线MP上,由①式得yN=3(x0+8)2y0,点M在直线MF1上,由②式得yM=6(x0+2)y0,|NF1|2=yN2=9(x0+8)24y02,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+yM2=36[y02+(x0+2)2]y02,故|NF1|2|MF1|2=9(x0+8)24y02·y0236[y02+(x0+2)2]=116·(x0+8)2y02+(x0+2)2,③注意到点P在椭圆C上,即x0216+y0212=1,于是y02=48-3x024,代入③式并整理得|NF1|2|MF1|2=14,故|NF1||MF1|的值为定值12.20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+a2x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=11+x+ax-1=x(ax+a-1)1+x.①当a=0时,f'(x)=-x1+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,15\n则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa>0,当x∈0,1-aa时,f'(x)<0,则f(x)在区间0,1-aa内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=x21+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln1+1n2+ln1+2n2+…+ln1+nn2<1n2+2n2+…+nn2,即ln1+1n21+2n2·…·1+nn2<1+2+…+nn2=n+12n.由于n∈N*,则n+12n=12+12n≤12+12×1=1.∴ln1+1n21+2n2…1+nn2<1.∴1+1n21+2n2…1+nn2<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-12x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,∴1n2+2n2+…+nn2-1212n4+22n4+…+n2n4<ln1+1n2+ln1+2n2+…+ln1+nn2,即n(n+1)2n2-12n(n+1)(2n+1)6n4<ln1+1n21+2n2…1+nn2,得6n3+4n2-3n-112n3<ln1+1n21+2n2…1+nn2.15\n由于n∈N*,则6n3+4n2-3n-112n3=6n3+(3n2-3n)+(n2-1)12n3≥6n312n3=12.∴12<ln1+1n21+2n2…1+nn2.∴e<1+1n21+2n2…1+nn2.∴e<1+1n21+2n2…1+nn2<e.15
