专题对点练19 统计与统计案例1.我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民月用水量标准x(单位:吨),用水量不超过x的部分按平价收费,超过x的部分按议价收费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100名居民某年的月用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)已知该市有80万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(单位:吨),估计x的值,并说明理由.2.为迎接即将举行的集体跳绳比赛,高一年级对甲、乙两个代表队各进行了6轮测试,测试成绩(单位:次/分钟)如下表:轮次一二三四五六甲736682726376乙837562697568(1)补全茎叶图,并指出乙队测试成绩的中位数和众数;(2)试用统计学中的平均数、方差知识对甲、乙两个代表队的测试成绩进行分析.5\n3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑i=18(xi-x)2∑i=18(wi-w)2∑i=18(xi-x)(yi-y)∑i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi,w=18∑i=18wi.(1)根据散点图判断y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i=1n(ui-u)(vi-v)∑i=1n(ui-u)2,α^=v-β^u.5\n4.某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关,先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制),剔除平均分在30分以下的学生后,共有男生300名,女生200名.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,按性别分为两组,并将两组学生成绩分为6组,得到如下所示频数分布表.分数段[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]男39181569女64510132(1)估计男、女生各自的成绩平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表),从计算结果看,判断数学成绩与性别是否有关;(2)规定80分以上为优分(含80分),请你根据已知条件作出2×2列联表,并判断是否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“数学成绩与性别有关”.优 分非优分合 计男生女生合计100附表及公式P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.5\n专题对点练19答案1.解(1)由频率分布直方图,可得(0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04)×0.5=1,解得a=0.30.(2)由频率分布直方图可知,100名居民每人月用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12.由以上样本频率分布,可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000.(3)∵前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30)×0.5=0.88>0.85,而前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.40+0.52)×0.5=0.73<0.85,∴2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.因此,估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.2.解(1)补全茎叶图如下:乙队测试成绩的中位数为72,众数为75.(2)x甲=63+66+72+73+76+826=72,s甲2=16[(63-72)2+(66-72)2+(72-72)2+(73-72)2+(76-72)2+(82-72)2]=39;x乙=62+68+69+75+75+836=72,s乙2=16[(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75-72)2+(75-72)2+(83-72)2]=44.因为x甲=x乙,s甲2<s乙2,所以甲、乙两队水平相当,但甲队发挥较稳定.3.解(1)由散点图可以判断y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.因为d^=∑i=18(wi-w)(yi-y)∑i=18(wi-w)2=108.81.6=68,c^=y-d^w=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为y^=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为y^=100.6+68x.(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值y^=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值z^=576.6×0.2-49=66.32.②根据(2)的结果知,年利润z的预报值z^=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,z^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.4.解(1)x男=45×0.05+55×0.15+65×0.3+75×0.25+85×0.1+95×0.15=71.5.x女=45×0.15+55×0.10+65×0.125+75×0.25+85×0.325+95×0.05=71.5.从男、女生各自的成绩平均分来看,并不能判断数学成绩与性别有关.(2)由频数分布表可知,在抽取的100名学生中,“男生组”中的优分有15人,“女生组”中的优分有15人,据此可得2×2列联表如下:优 分非优分合 计男生154560女生152540合计30701005\n可得K2=100×(15×25-15×45)260×40×30×70≈1.79.∵1.79<2.706,∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“数学成绩与性别有关”.5
