专题对点练1 选择题、填空题的解法一、选择题1.方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是( )A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<02.设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=12[f(a)+f(b)],则下列关系式中正确的是( )A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q3.在等差数列{an}中,ana2n是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )A.{1}B.1,12C.12D.0,1,124.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则cosA+cosC1+cosAcosC等于( )A.35B.45C.34D.435.已知定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数x,都有f(1+x)=f(1-x),且f(x)在(-∞,1]上单调递增.若x1<x2,且x1+x2=3,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2)D.不能确定6.已知O是锐角△ABC的外接圆圆心,A=60°,cosBsinC·AB+cosCsinB·AC=2m·AO,则m的值为( )A.32B.2C.1D.127.设函数f(x)=3x-1,x<1,2x,x≥1,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A.23,1B.[0,1]C.23,+∞D.[1,+∞)8.(2022陕西一模)设x∈R,定义符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,则函数f(x)=|x|sgnx的图象大致是( )9.已知f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)恒过定点M,且点M在直线xm+yn=1(m>0,n>0)上,则m+n的最小值为( )A.3+22B.8C.42D.45\n10.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则OM·ON的值为( )A.3B.4C.5D.0二、填空题11.设a>b>1,则logab,logba,logabb的大小关系是 .(用“<”连接) 12.不论k为何实数,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是 . 13.函数f(x)=4cos2x2cosπ2-x-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为 . 14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= . 15.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<ex的解集为 . 16.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g(x)+x+4,x<g(x),g(x)-x,x≥g(x),则f(x)的值域为 . 5\n专题对点练1答案1.C 解析当a=0时,x=-12,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B.故选C.2.C 解析f(x)=lnx是增函数,根据条件不妨取a=1,b=e,则p=f(e)=lne=12,q=f1+e2>f(e)=12,r=12·[f(1)+f(e)]=12.在这种特例情况下满足p=r<q,所以选C.3.B 解析∵ana2n是一个与n无关的常数,∴结合选项令ana2n=1,则数列{an}是一个常数列,满足题意;令ana2n=12,设等差数列的公差为d,则an=12a2n=12(an+nd),∴an=nd,即a1+(n-1)d=nd,化简,得a1=d,也满足题意;ana2n=0,则an=0,a2n=0,不满足题意.故选B.4.B 解析(法一)由题意可取特殊值a=3,b=4,c=5,则cosA=45,cosC=0,cosA+cosC1+cosAcosC=45.故选B.(法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cosA=cosC=12,cosA+cosC1+cosAcosC=45.故选B.5.C 解析由f(1+x)=f(1-x)知,函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又f(x)在(-∞,1]上单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递减.设点A(x1,0),B(x2,0).因为x1<x2,且x1+x2=3,所以点A在点B的左侧,且AB的中点坐标为32,0,所以结合图象可知(图略),f(x1)>f(x2).6.A 解析对任意锐角三角形,题干中的等式都成立,则对等边三角形,题干中的等式也应成立.如图,当△ABC为正三角形时,则∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.取BC的中点D,连接AD,由题意可知AO=23AD,则有13AB+13AC=2m·AO.∴13(AB+AC)=2m×23AD.∴13·2AD=43mAD.∴m=32.故选A.7.C 解析当a=2时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=23时,f(a)=f23=3×23-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=23满足题意,排除D选项,故答案为C.8.C 解析函数f(x)=|x|sgnx=x,x>0,0,x=0,x,x<0,故函数f(x)=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线,故选C.9.A 解析因为f(x)=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)恒过定点M(2,1),所以M(2,1)在直线xm+yn=1上,可得2m+1n=1,m+n=(m+n)2m+1n=3+2nm+mn≥3+22 当且仅当2nm=mn时,等号成立,m+n的最小值为3+22,故选A.10.A 解析取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),∴OM·ON=4-1=3,取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴OM·ON=4-1=3,故选A.11.logabb<logab<logba 解析考虑到两个数的大小关系是确定的,不妨令a=4,b=2,则logab=12,logba=2,logabb=13,显然13<12<2,∴logabb<logab<logba.5\n12.[-1,3] 解析由题知2a+4>0,则a>-2.注意到直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则有02+12-2a·0+a2-2a-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3.综上,-1≤a≤3.13.2 解析由题意可得f(x)=4cos2x2·sinx-2sinx-|ln(x+1)|=2sinx·2cos2x2-1-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|.令f(x)=0,得sin2x=|ln(x+1)|.在同一平面直角坐标系中作出两个函数y=sin2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象,如图所示.观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.14.-8 解析根据函数特点取f(x)=sinπ4x,再由图象可得(x1+x2)+(x3+x4)=(-6×2)+(2×2)=-8.15.(0,+∞) 解析由题意令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)ex-(ex)'f(x)(ex)2=f'(x)-f(x)ex.∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=f(x)ex在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<ex等价为f(x)ex<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.16.-94,0∪(2,+∞) 解析由x<g(x),得x<x2-2,∴x<-1或x>2;由x≥g(x),得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.∴f(x)=x2+x+2,x<-1或x>2,x2-x-2,-1≤x≤2,即f(x)=x+122+74,x<-1或x>2,x-122-94,-1≤x≤2.当x<-1时,f(x)>2;当x>2时,f(x)>8.∴当x∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).当-1≤x≤2时,-94≤f(x)≤0.∴当x∈[-1,2]时,函数的值域为-94,0.5\n综上可知,f(x)的值域为-94,0∪(2,+∞).5
