第2讲 矩阵与变换1．(2022·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.2．(2022·江苏卷)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特征值．解 因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3．(2022·江苏卷)已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.解 A2＝＝，设α＝，由A2α＝β得，＝，从而解得所以α＝.4．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，0)，B(－2，0)，C(－2，1)．设k为非零实数，矩阵M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解 由题设得，MN＝＝，由＝，可知A1(0，0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.3\n5．已知矩阵A＝，A的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝.设向量β＝，试计算A5β的值．解 由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λα1)＋λα2＝3×25＋35＝.6．已知矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求矩阵M的特征值及特征向量．解 (1)设M－1＝.则＝＝，∴解得∴M－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(x)＝＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程得x＋y＝0，令x＝1，3\n则y＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝；当λ＝5时，由二元一次方程得3x－y＝0，令x＝1，则y＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝.3
