第1讲 直线与圆一、填空题1．(2022·广东卷改编)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是________．解析 设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有＝，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案 2x＋y±5＝02．(2022·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案 (x－1)2＋(y－1)2＝23．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.圆心到直线的距离d＝＝，所以弦长为2＝2＝.答案 4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是________．解析 配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3，4)，半径为r＝5，则过点(3，5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2＝4，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝AC×BD＝20.答案 205．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________．6\n解析 x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a，0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有－＝，解得a＝1或－1(舍去)．答案 16．(2022·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，设圆心C(4，0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝，由题意知问题转化为d≤2，即d＝≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.答案 7．(2022·新课标全国Ⅱ卷)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析 由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0，1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．答案 [－1，1]8．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最小值为________．6\n解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又OA＝OB＝1，根据勾股定理得AB＝，∴OC＝AB＝.∴圆心到直线的距离为＝，即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0.∴－≤b≤.则点P(a，b)与点(0，1)之间距离d＝＝＝.设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数．∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1.答案 －1二、解答题9．(2022·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题意可得y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝.6\n由得此时，圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.10.已知双曲线x2－＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P(2，3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点，当线段PQ的中点为(0，9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2，0)，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．则∴a2＝16，b2＝12.故椭圆方程为＋＝1.(2)由已知，A(－4，0)，B(4，0)，F(2，0)，直线l的方程为x＝8.设N(8，t)(t＞0)．∵AM＝MN，∴M.由点M在椭圆上，得t＝6.故所求的点M的坐标为M(2，3)．所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.cos∠AMB＝＝＝－.(3)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将A、F、N三点坐标代入，得得6\n圆的方程为x2＋y2＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y2－y－8＝0.设P(0，y1)，Q(0，y2)，则y1，2＝.由线段PQ的中点为(0，9)，得y1＋y2＝18，t＋＝18，此时，所求圆的方程为x2＋y2＋2x－18y－8＝0.11.如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当MN＝2时，求直线l的方程；(3)·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．解 (1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵MN＝2，∴AQ＝＝1.由AQ＝＝1，得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴·＝0，6\n∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.当直线l与x轴垂直时，得P.则＝，又＝(1，2)，∴·＝·＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P.∴＝.∴·＝·＝－＝－5.综上所述，·是定值，且·＝－5.6
