专题2.6函数性质综合运用【考纲解读】内容要求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ 函数的图像与性质 √ 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【直击考点】1.(2022·南通调研)函数f(x)＝ln＋的定义域为________．【解析】要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋的定义域为(1，＋∞)．2.(2022南京、盐城模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．综上f(x)≥－1的解集为{x|－4≤x≤2}．3.(2022·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x1234f(x)3421映射g的对应法则x1234-11-\ng(x)4312则f[.g(1)]的值为________．【解析】由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.4．(2022·盐城中学一模)f(x)＝则f＝________.【解析】∵f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝－2＝9.5.(2022·南京、盐城一模)已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．6.(2022·南通中学模拟)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则不等式f(logx)>0的解集为________．【解析】∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)在(0，＋∞)上递增．∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数，-11-\n7.(2022·南京、盐城模拟)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【解析】由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.8.(2022·无锡期末)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.9.(2022·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．【解析】由题意知g(x)＝函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的减区间是[0,1)．-11-\n10.(2022·泰州一检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.【解析】当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．当0<a<1，则y＝ax为减函数，有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝.此时g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．故a＝.11.(2022·南京一中模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为________．【解析】由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，即－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，解得2－<b<2＋.所以实数b的取值范围为(2－，2＋)．12.(2022·南通调研)若函数f(x)＝(a，b∈R)为奇函数，则f(a＋b)的值为________．13.(2022·泰安一模改编)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为________．【解析】 ∵f(x＋1)为偶函数，-11-\n∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.14.(2022·南通调研)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为【解析】f(x)＝则f＋f＝________.由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.15.(2022·无锡调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．16.(2022·南京模拟)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.【解析】 由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又f(x)的值域为(－∞，4]，-11-\n∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.17.(2022·苏北四市摸底)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．【解析】函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点可化为函数y＝f(x)的图象与直线y＝m恰有4个交点，作函数y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，故m的取值范围是(－1,0)．18.(2022·安徽江南十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________． f(x)＝【解析】当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.19.(2022·南京模拟)已知a是常数，函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－ax＋2的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图象可能是________(填序号)．20.(2022·苏北四市摸底)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数y＝f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)．已知函数f(x)＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是________．【解析】 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y＝f(x)的图象上，且关于坐标原点对称．-11-\n可作出函数y＝－ln(－x)(x<0)关于原点对称的函数y＝lnx(x>0)的图象，使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．【知识清单】1.函数性质：定义域、值域、解析式、奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等2．函数图像及其变换3.函数与方程【考点深度剖析】1.函数均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2.对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.【重点难点突破】-11-\n考点1函数性质综合应用【1-1】是上的奇函数，当时，，则当时，_______【答案】【解析】∵，∴，∴，又∵是上的奇函数，∴，∴.【1-2】定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数=的零点的个数为_______【答案】3【解析】∵不等式在上恒成立，∴，∴函数在上为增函数，又∵在R上为奇函数，∴函数在上为偶函数，且过和和，∴函数=的零点的个数为3个.【1-3】定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】-11-\n【1-1】设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是.【答案】【1-2】函数有如下性质：若常数，则函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数（为常数），当时，若对任意，都有，则实数的取值范围是.【答案】【解析】当时，函数与在都是增函数，所以在单调递增，所以有，不满足题意；当时，在单调递增，所以有，也不满足题意；当时，根据题意可知函数在单调递减，在单调递增；要使对任意，都有，则须满足即可，即须求解不等，解得-11-\n【思想方法】1.等价转换思想：将不等式恒成立，有解问题等价转化为对应函数最值问题2.数形结合思想：利用函数图像，研究函数性质3.函数与方程思想：将方程是否有解及实根分布转化为对应函数性质与图像问题【温馨提醒】利用函数性质解题时，须注意转化的等价性，分类的完备性．【易错试题常警惕】解对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分和两种情况讨论．如：解不等式．【分析】（1）当时，原不等式等价于，解之得；当时，原不等式等价于，解之得．当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【易错点】本题容易忽视了对参数的讨论，以为和对数中真数大于而致误．【练一练】已知f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，求实数a的取值范围.-11-\n-11-
