专题9.7抛物线【基础巩固】一、填空题1．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝________.【答案】2【解析】由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，PF＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2.2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是________．【答案】y＝x2或y＝－x2【解析】分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.3．(2022·苏州测试)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ＝________.【答案】8【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.4．(2022·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．【答案】3【解析】由图可知弦长AB＝2，三角形的高为3，∴面积为S＝×2×3＝3.5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则QF＝________.【答案】37\n6．(2022·扬州中学质检)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为________．【答案】8【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.7．(2022·南通调研)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，PF＝________.【答案】【解析】如图，令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝，若P(x0，y0)，则x0＝，代入x2＝4y中，则y0＝，所以PF＝PA＝y0＋1＝.8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米7\n后，水面宽________米．【答案】2二、解答题9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．7\n10．(2022·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．(1)求抛物线C的方程；(2)过M(－1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．7\n解 (1)双曲线的离心率e＝＝，又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0,1)，又p>0，∴抛物线的焦点为(0,1)，∴抛物线方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，∵y＝x2，∴y′＝x，【能力提升】11．(2022·镇江调研)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是________．【答案】【解析】因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－(其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝－＝5－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号．12．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM7\n＝2MF，则直线OM的斜率的最大值为________．【答案】【解析】如图，由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立．13．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是________．【答案】314．(2022·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.(1)求抛物线的方程；(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．7\n解 (1)由题意得点P到准线的距离等于PO，由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，所以＝，p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x.(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：由抛物线的对称性，设点A在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，所以点A处切线的方程为y－y0＝，7
