专题9.7抛物线【考纲解读】内容要求备注A B C 圆锥曲线与方程 顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 √ 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．了解圆锥曲线的简单应用．【直击考点】题组一常识题1．已知抛物线y＝x2，则它的焦点坐标是____________．[解析]由y＝x2得x2＝y，∴p＝，∴焦点坐标为.2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的标准方程是____________．[解析]由抛物线的准线方程为x＝－2，知p＝4，且抛物线的开口向右，所以抛物线的标准方程为y2＝8x.3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________．＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋2＝8.题组二 常错题4．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________________．[解析]令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.故抛物线的焦点是F(4，0)或F(0，－2)，所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.5．抛物线x2＋2py＝0的焦点到准线的距离为4，则p＝________．10\n[解析]将方程x2＋2py＝0变形为x2＝－2py，则有|p|＝4，所以p＝±4.题组三 常考题6．抛物线x2＝－2y的焦点坐标是______________．[解析]由已知得2p＝－2，所以p＝－1，故该抛物线的焦点坐标为，即.7．已知焦点在x轴上的抛物线的准线经过点(－1，1)，则抛物线方程为______________．[解析]由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，所以准线方程为x＝－.因为准线经过点(－1，1)，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.8．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________．【知识清单】考点1抛物线的标准方程及几何性质图形标准方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）顶点O（0，0）范围x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=110\n准线方程焦半径考点2抛物线的定义及应用平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．考点3直线和抛物线的位置关系1.将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若①Δ＞0直线和抛物线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点．2.直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【考点深度剖析】10\n1．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．2．考题以填空题为主，多为中低档题．【重点难点突破】考点1抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知是抛物线上任意一点，则当点到直线的距离最小时，点与该抛物线的准线的距离是.【答案】【解析】当直线与抛物线相切于点时，到直线的距离最小，把代入得，由于相切得，因此，此点到准线的距离为.【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为.【答案】y2=8x，所以.【1-3】已知抛物线的准线与圆相切，则的值为.【答案】2【解析】圆化为，与圆相切，，即.【1-4】一个动圆与定圆：相外切，且与定直线：相切，则此动圆的圆心的轨迹方程是.【答案】10\n【1-5】如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为.【答案】y2＝3x【解析】如图，∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6．即F为AC的中点，∴p＝|FF′|＝|EA|＝，故抛物线方程为y2＝3x．【思想方法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【温馨提醒】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。考点2抛物线的定义及应用【题组全面展示】10\n【2-1】已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为.【答案】【解析】设，，，因此线段的中点到轴的距离为.【2-2】过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=.【答案】8【解析】由于，因此，根据焦点弦公式.【2-3】已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点.若线段的中点到轴的距离为，则.【答案】3【2-4】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=.【答案】【2-5】如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝.10\n【答案】6【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∵F(1,0)，∴＋＋＝(x1＋x2＋x3－3，y1＋y2＋y3)＝0，∴∴||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝3＋3＝6．【思想方法】1．抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用．2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．【温馨提醒】利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用．考点3直线和抛物线的位置关系【3-1】设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有.【解析】10\n【3-2】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若，则的面积为.【答案】【解析】由抛物线的定义知，==3，解得=2，所以=，所以的面积为==.【3-3】已知抛物线，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为.【答案】10\n【解析】设直线方程，得代入抛物线方程得化简的，，，准线方程【3-4】如图，抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是.【答案】【3-5】若，则称点在抛物线C：外．已知点在抛物线C：外，则直线与抛物线C的位置关系是.【答案】相交【思想方法】10\n.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：①焦点弦长②③，其中|AF|叫做焦半径，④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【温馨提醒】抛物线弦的中点坐标和方程的两根之和的密切联系是解决中点弦问题的关键，方程的思想也是解析几何的核心思想.【易错试题常警惕】[失误与防范]1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．3．直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．10
