专题9.7抛物线班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）1.【2022届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线的焦点坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】，焦点坐标为，即为，故选B.2.【2022届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线的焦点坐标为（0，－1），实数a的值等于（）A.4B.－4C.D.【答案】B3.【2022届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】D15\n4.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A.4B.5C.6D.11【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴线段的中点到轴的距离为，故选B.5.【2022届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.6．【2022届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）A.B.C.D.【答案】C15\n7．【2022届云南省红河州高三统一检测】如果是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若，则（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，，，故选：D．8.【2022届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，故选A.9.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．15\n【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.10.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．11.【2022届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则15\n的轴长的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B12.【押题卷【浙江卷】】如图，在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【答案】D.【解析】如下图所示，连结，过作于，∵面，面，∴，∴，故点的轨迹为以为焦点，所在直线为准线的抛物线，故选D.15\n二、填空题13.【2022届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.【答案】，.【解析】由题意得，焦点坐标是，准线方程是，故填：，.14.【2022届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为.【答案】【解析】试题分析：由抛物线定义得：又点位于第一象限，因此从而15．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为.【答案】15\n16.【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．【答案】6【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得，，，过的直线设为，与联立得：，，计算得出且，又，AB的中点为15\n线段AB的垂直平分线过点方程为过中点，则，，解出或（舍去），则，，则.三、解答题17.【2022高考浙江文数】如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.（I）求p的值；（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.【答案】（I）；（II）.【解析】(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离.由抛物线的定义得，即p=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为，可设.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF:x=sy+1,,由消去x得，故，所以.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而的直线FN:，直线BN:，15\n所以，设M(m,0),由A,M,N三点共线得：，于是，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是.18.【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知是抛物线的焦点，点是不在抛物线上的一个动点，过点向抛物线作两条切线，切点分别为.（1）如果点在直线上，求的值；（2）若点在以为圆心，半径为4的圆上，求的值.【答案】（1）1（2）16【解析】试题分析：（1）根据抛物线定义得，设，利用同一法可得切点弦AB方程．联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得的值；（2），的方程为．，联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得的值.试题解析：解：因为抛物线的方程为，所以，所以切线的方程为，即①，同理切线的方程为②，设，则由①②得以及，由此得直线的方程为．15\n（2）由（1）知切线的方程为，切线的方程为，联立得点．设直线的方程为，代入得．因此，所以点的坐标为，由题意，所以，从而.19.如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.15\n（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）；（2）设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.（2）由（1）知，，15\n直线的方程为，所以点到直线的距离为.所以的面积为.20．【2022届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．【答案】(Ⅰ)的方程为其准线方程为；(Ⅱ)2.【解析】试题分析;（I）由题意抛物线的焦点为抛物线的顶点（，由此算出从而得到抛物线的方程，得到的准线方程；（II）设则可得切线，的方程，进而可得所以直线的方程为.联立由韦达定理得，可求得．进而求得点到直线的距离．则的面积所以当时，取最小值为。即15\n面积的最小值为2.．试题解析：（Ⅰ）的方程为其准线方程为．（Ⅱ）设，，，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为.联立得，所以。所以．点到直线的距离．所以的面积所以当时，取最小值为。即面积的最小值为2.21．【2022天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】（1），.（2），或.【解析】15\n（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.22．【2022高考新课标3】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（I）若在线段上，是的中点，证明；（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】由题设.设，则，且.记过两点的直线为，则的方程为......3分15\n（Ⅰ）由于在线段上，故.记的斜率为，的斜率为，则，所以.......5分15
