平面向量的数量积时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每题5分，共30分)1．(2022·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，那么|b|＝( )A. B.C．5D．25解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝50，即5＋2×10＋|b|2＝50，∴|b|＝5.答案：C2．(2022·重庆高考)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，那么向量a与b的夹角是( )A.B.C.D.解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2.又|a|＝1，∴a·b＝3.即|a|·|b|cos〈a，b〉＝3＝1×6cos〈a，b〉，得cos〈a，b〉＝，∴a与b的夹角为，应选C.答案：C3．(2022·辽宁高考)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，那么|a＋2b|＝( )A.B．2C．4D．12解析：∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12，∴|a＋2b|＝2.答案：B4．已知非零向量和满足(＋)·＝0，且·＝，那么△ABC为( )A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形解析：由(＋)·＝0⇒∠BAC的角平分线与BC垂直，∴△ABC为等腰三角形，∵·＝，∴∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：D5．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，那么4/4\n＋＋与( )A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝－.应选A.答案：A6．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，那么|c|的最大值是( )A．1B．2C.D.解析：建立平面直角坐标系，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．由(a－c)·(b－c)＝0得(x－)2＋(y－)2＝.这说明向量c的终点在圆(x－)2＋(y－)2＝上，又向量c的起点O也在圆上，原点O到此圆上的点的最大值等于圆的直径的大小，即|c|max＝.应选C.答案：C二、填空题(每题5分，共20分)7．(2022·江苏高考)已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，那么向量a和向量b的数量积a·b＝________.解析：a·b＝|a|·|b|·cosθ＝2×cos30°＝2×＝3.答案：38．(2022·广东高考)假设平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，那么a＝________.解析：设a＝(x，y)，那么a＋b＝(x＋2，y－1)，由题意⇒∴a＝(－1,1)或(－3,1)．答案：(－1,1)或(－3,1)9．如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，那么·＝________.4/4\n图1解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又∵＝－，||2＝1，||2＝4，∴·＝2×1×cos120°＝－1，∴·＝(＋)·(－)＝2－2＋·＝－，故填－.答案：－10．已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，那么λ＋μ＝________；假设∠A＝120°，·＝－2，那么||的最小值是__________．解析：取BC的中点D，那么＝＝×(＋)＝＋，因此λ＋μ＝＋＝；当∠A＝120°，·＝－2时，||·||cos120°＝－2，||·||＝4，||＝|＋|＝≥＝，即||的最小值是.答案： 三、解答题(共50分)11．(15分)已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的大小．解：由已知a＝(1，－1)，b＝(4,3)．(1)a·b＝1×4＋(－1)×3＝1，∵a＋b＝(1，－1)＋(4,3)＝(5,2)，∴|a＋b|＝＝.(2)设a，b夹角为θ，那么cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝arccos.12．(15分)已知a＝(－，)，＝a－b，＝a＋b，假设△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b及△AOB的面积．解：∵⊥，∴·＝0，4/4\n即(a－b)·(a＋b)＝0，∴|a|2－|b|2＝0，∵|a|＝1，∴|b|＝1.又||＝|－|＝|2b|＝2，∴||＝||＝，即|a＋b|＝|a－b|＝，∴a·b＝0.设b＝(x，y)，那么由解得b＝(，)或(－，－)，S△AOB＝||||＝()2＝1.13．(20分)(2022·石家庄一模)在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝＋1.(1)求·；(2)设△ABC的外心为O，假设＝m＋n，求m，n的值．解：(1)由余弦定理知：cosA＝＝，∴·＝||·||cosA＝(＋1)·＝＋1.(2)由＝m＋n，知∴∵O为△ABC的外心，∴·＝||·||cos∠BAO＝||·||·＝(＋1)2.同理，∴·＝1.即解得：4/4
