提升训练7 动能定理的应用1.图中给出一段“S”形单行盘山公路的示意图,弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧,圆心分别为O1,O2,弯道中心线半径分别为r1=10m,r2=20m,弯道2比弯道1高h=12m,有一直道与两弯道圆弧相切。质量m=1200kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动,路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍,行驶时要求汽车不打滑。(sin37°=0.6,sin53°=0.8)(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v1;(2)汽车以v1进入直道,以P=30kW的恒定功率直线行驶了t=8.0s,进入弯道2,此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度,求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功;(3)汽车从弯道1的A点进入,从同一直径上的B点驶离,有经验的司机会利用路面宽度,用最短时间匀速安全通过弯道,设路宽d=10m,求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上,计算时视汽车为质点)。2.(2022浙江金华十校期末)金华某商场门口根据金华“双龙”元素设计了一个精美的喷泉雕塑,两条龙喷出的水恰好相互衔接(不碰撞)形成一个“∞”字形。某学习小组为了研究喷泉的运行原理,将喷泉简化成如图所示的模型,两个龙可以看成两个相同对称圆的一部分(近似看成在同一平面内),E、B两点为圆的最高点。抽水机M使水获得一定的初速度后沿ABCDEFG运动,水在C、F两处恰好沿切线进入管道,最后回到池中。圆半径为R=1m,角度θ=53°,忽略一切摩擦。(g取10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6)求:13\n(1)水从B点喷出的速度多大?(2)取B处一质量为m=0.1kg的一小段水,管道对这一小段水的作用力多大?方向如何?(3)若管道B处横截面积为S=4cm2,则抽水机M的输出功率是多少?(水密度ρ=1×103kg/m3)3.如图甲所示为一景区游乐滑道,游客坐在坐垫上沿着花岗岩滑道下滑,他可依靠手、脚与侧壁间的摩擦来控制下滑速度。滑道简化图如乙所示,滑道由AB、BC、CD三段组成,各段之间平滑连接。AB段和CD段与水平面夹角为θ1,竖直距离均为h0,BC段与水平面夹角为θ2,竖直距离为12h0。一质量为m的游客从A点由静止开始下滑,到达底端D点时的安全速度不得大于2gh0,已知sinθ1=14、sinθ2=18,坐垫与滑道底面间摩擦及空气阻力均不计,若未使用坐垫,游客与滑道底面间的摩擦力大小Ff恒为重力的110,运动过程中游客始终不离开滑道,问:(1)游客使用坐垫自由下滑(即与侧壁间无摩擦),则游客在BC段增加的动能ΔEk多大?(2)若游客未使用坐垫且与侧壁间无摩擦下滑,则游客到达D点时是否安全?(3)若游客使用坐垫下滑,则克服侧壁摩擦力做功的最小值是多少?4.某电视台拟推出一个水上娱乐节目,体验者乘坐滑水车运动过程可以简化为如下模型。如图所示,滑水车从倾角为θ=53°的长直轨道AC上的B点由静止开始下滑,到达C点后进入弧形的涉水轨道CDEF,其中CDE是半径为R=5m,圆心角为106°的圆弧,EF为半径为R=5m,圆心角为53°的圆弧,此时滑水车刚好能到达F点。已知滑水车与体验者的总质量为60kg,B点到C点的距离为L0=4m,滑水车与轨道AC间存在摩擦,涉水轨道CDEF可视为光滑轨道,不计滑水车受到的其他阻力作用,则:13\n(1)求滑水车经过CDE轨道时对D点的压力大小;(2)求滑水车与轨道AC间的动摩擦因数μ;(3)若要使得滑水车能在F点水平抛出,求滑水车在AC上的释放点B'到C的距离L'的范围。5.如图所示,是某兴趣小组通过弹射器研究弹性势能的实验装置。半径为R的光滑半圆管道(管道内径远小于R)竖直固定于水平面上,管道最低点B恰与粗糙水平面相切,弹射器固定于水平面上。某次实验过程中,一个可看作质点的质量为m的小物块,将弹簧压缩至A处,已知A、B相距为L。弹射器将小物块由静止开始弹出,小物块沿圆管道恰好到达最髙点C。已知小物块与水平面间的动摩擦因素为μ,重力加速度为g,求:(1)小物块到达B点时的速度vB及小物块在管道最低点B处受到的支持力;(2)小物块在AB段克服摩擦力所做的功;(3)弹射器释放的弹性势能Ep。13\n6.(2022年3月台州质量评估)如图所示为某水上乐园急速滑道的简化示意图,内壁光滑的水平半圆形管道BC分别与倾角θ=37°的倾斜管道AB和水平直管道CD中顺滑连接,管道AB的A端离管道BC所在平面的高度h1=6m,管道BC的直径d=10m,离水面EF的高h2=1.8m。质量m=60kg的游客(可视为质点),从A端静止滑下,游客与管道AB的动摩擦因数μ1=0.125,与管道CD的动摩擦因数μ2=0.5,整个运动过程空气阻力不计。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)(1)求游客经过B点时的速度大小;(2)求游客受到BC管道的作用力大小;(3)要使游客落到水中且落水的速度不超过8m/s,求管道CD的长度。7.如图所示,所有轨道均光滑,轨道AB与水平面的夹角为θ=37°,A点距水平轨道的高度为H=1.8m。一无动力小滑车质量为m=1.0kg,从A点沿轨道由静止滑下,经过水平轨道BC再滑入圆形轨道内侧,圆形轨道半径R=0.5m,通过圆形轨道最高点D然后从水平轨道E点飞出,E点右侧有一壕沟,E、F两点的竖直高度差h=1.25m,水平距离s=2.6m。不计小滑车通过B点时的能量损失,小滑车在运动全过程中可视为质点,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:(1)小滑车从A滑到B所经历的时间;(2)在圆形轨道最高点D处小滑车对轨道的压力大小;(3)要使小滑车既能安全通过圆形轨道又不掉进壕沟,则小滑车至少应从离水平轨道多高的地方由静止滑下。13\n8.低碳环保绿色出行的理念逐渐深入人心,而纯电动汽车是时下相对较环保的汽车。为宣传“低碳环保”健康生活理念,某次志愿者举行玩具电动小汽车的表演。如图所示,质量m=2kg的小汽车以v0=4m/s的初速度从水平轨道A处出发,沿平直轨道AC运动,到达C点时关闭发动机,进入半径R=1.8m圆轨道,恰能做完整的圆周运动后又进入CE水平轨道向右运动,直至停下。已知小汽车与水平面的摩擦阻力恒为重力的110,AB段运动过程中风力较大,可简化为受0.8N的水平向左的作用力,过B点后小汽车所受空气作用力均忽略不计。圆轨道可视作光滑。已知AB段长度x1=3m,BC段长度x2=2m,CE段足够长。小汽车自身长度可忽略。求:(1)要使小汽车完成上述运动,AC段电动机至少提供多少能量?(2)若CE阶段启用动力回收系统,把机械能转化为电能,回收效率为30%,则该段小汽车还能滑行多远?9.(2022年5月温州十五校联合体高二期中联考)如图所示,轻弹簧一端与墙相连,质量为4kg的木块沿水平面以4m/s的速度向左运动并压缩弹簧,木块离开弹簧时的动能为28.8J,离开弹簧后又运动了3.6m,g取10m/s2,求:(1)木块与水平面间的动摩擦因数;(2)弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能;(3)另一木块以2m/s的速度压缩弹簧,弹簧在被压缩过程中的最大弹性势能与前面相同,则木块的质量为多少?13\n10.如图所示为水上滑梯的简化模型:倾角θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接,起点A距水面的高度H=7m,BC长d=2m,端点C距水面的高度h=1m。质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下,运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1。已知cos37°=0.8,sin37°=0.6,运动员在运动过程中可视为质点,g取10m/s2。求:(1)运动员从A滑到B所需的时间t;(2)运动员到达C点时的速度大小vC;(3)保持水平滑道端点在同一竖直线上,调节水平滑道高度h和长度d到图中B'C'位置时,运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大,求此时滑道B'C'距水面的高度h'。11.(2022浙江七彩阳光联盟期初联考)如图甲为滑板运动,如图乙为滑板比赛滑道示意简图,滑行轨道均在同一竖直平面内,斜轨道AB的倾角θ=37°,与水平轨道BC间用小圆弧平滑相连(小圆弧的长度可忽略)。斜轨道DE倾角α=53°,与半径R=1.0m的光滑圆弧轨道EFG相切于E点,F为圆弧轨道最低点,已知H1=4.2m,L1=15.0m,H2=1.0m,H3=5.0m。设滑板与直轨道间的摩擦因数均为μ=0.25,运动员连同滑板的总质量m=60.0kg。运动员从A点由静止开始下滑,从C点水平飞出,与斜面DE碰撞后,没有反弹,继续滑行,经过圆弧轨道F点时对轨道压力大小为FN=4800N,从G点飞出后落在与G点同一水平面且间距为L2=6.0m的K点,轨迹最高点I与GK面的距离H4=1.8m。运动员连同滑板可视为质点,忽略空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:甲13\n(1)运动员从C点水平飞出时的速度大小vC;(2)运动员落在斜面DE上与斜面碰撞过程中损失的动能ΔEk;(3)G点与圆心O的高度差Δh。12.(2022年2月温州六校协作体高三期末)上海热带风暴水上乐园有个项目叫做“音速飞龙”。如图甲所示,两条高速滑道,人可以仰卧下滑,下滑起伏共有3层。图乙为其轨道侧视图,质量为70kg的人从A处静止下滑,经BCDEF,最终停在G处。已知AB、BC、CD、DE、EF是半径为14m的圆弧,其对应的圆心角均为60°,FG段水平。设人滑到F点时速度为20m/s,g取10m/s2,求:(1)人刚滑到圆弧末端F点时,滑道对人竖直向上的作用力F1的大小;(2)在AF段上滑动过程中人克服阻力所做的功Wf;(3)若一光滑小球在该轨道无水时自A处静止释放,且不计空气阻力,小球能否沿ABCDEF轨道运动?若能,请说明理由;若不能,请求出小球脱离轨道的位置及落回轨道所在的圆弧部分。13.(2022年3月绍兴选考适应性)如图为杂技演员进行摩托车表演的轨道,它由倾斜直线轨道AB、圆弧形轨道BCD、半圆形轨道DE、水平轨道EF组成,已知轨道AB的倾角θ=37°,A、B间高度差H=12m,轨道BCD的半径R=4.8m,轨道DE的半径r=2.4m,轨道最低点C距水平地面高度差h=0.2m,在轨道AB上运动时摩托车(含人)受到的阻力为正压力的15,其余阻力均不计。表演者从A点驾驶摩托车由静止开始沿轨道AB运动,接着沿轨道BCDEF运动,然后从F点离开轨道,最后落到地面上的G点。已知摩托车功率P恒为2×103W,发动机工作时间由表演者控制,表演者与摩托车总质量m=100kg,表演者与摩托车可视为质点。(cos37°=0.8)13\n(1)某次表演中,通过C点时摩托车对轨道的压力为6000N,求经过C点的速度vC;(2)满足(1)中的条件下,求摩托车发动机的工作时间t;(3)已知“受力因子k”等于表演者与摩托车整体承受的压力除以整体的重力,在k≤8条件下表演者是安全的,求能在安全完成完整表演的情况下,表演者落点G点与F点的水平距离的可能值。13\n提升训练7 动能定理的应用1.答案(1)55m/s (2)-2.1×104J (3)1.85s解析(1)汽车沿弯道1行驶的最大速度为v1,有kmg=mv12r1得v1=kgr1=55m/s。(2)汽车沿弯道2行驶的最大速度为v2,有kmg=mv22r2得v2=kgr2=510m/s直道上由动能定理有P·t-mgh+Wf=12mv22-12mv12代入数据可得Wf=-2.1×104J。(3)mv2r=1.25mg⇒v=1.25gr可知r增大v增大,r最大,切弧长最小,对应时间最短,所以轨迹设计应如右图所示由图可以得到r'2=r12+r'-r1-d22代入数据可以得到r'=12.5m汽车沿着该路线行驶的最大速度v'=kgr'=12.5m/s由sinθ=r1r'=0.8可知,对应的圆心角度2θ=106°线路长度s=106360×2πr'最短时间t'=sv'≈1.85s。2.答案(1)32m/s (2)水在B点受到管道竖直向下的压力,为0.8N (3)49.2W解析(1)水做平抛运动,竖直方向h=R+Rcosθ=1.6m根据vCy2=2gh得vCy=42m/s又因为水在C点刚好与圆相切,所以tanθ=vCyvB所以vB=32m/s。(2)以小段水为研究对象。当水在最高点B受到的管道作用力是0时,有Fn=mg=mv临2Rv临=10m/s<32m/s故水在B点受到管道竖直向下的压力,mg+FN=mvB2R得FN=0.8N。(3)以单位时间(t=1s)从B点喷出的水为研究对象,m0=ρSvBt由能量守恒定律可得,以A处为势能零点有Pt=m0g(2R)+12m0vB2得P=34.82W≈49.2W。3.答案(1)12mgh0 (2)不安全 (3)32mgh0解析(1)重力在BC段做的功即为增加的动能ΔEk可得ΔEk=WG=12mgh0(2)在AD段,由动能定理,得13\nmgh0+12h0+h0-12Ffh0=12mvD2vD=2.6gh0>2gh0,到达D点时不安全。(3)到达D点的速度为2gh0,对应的功最小。在AD段,由动能定理,得mg(h0+12h0+h0)-W=12mvD2,解得W=32mgh0。4.答案(1)1560N (2)0.5 (3)4m<L'≤9m解析(1)滑水车刚好能到达F点的速度vF=0,根据几何关系可知DF间的高度差hDF=2R(1-cos53°)=4m从D到F点,由机械能守恒,有12mvD2=mghDF,解得vD=80m/s对D点,设滑水车受到的支持力为FD,由牛顿第二定律,有FD-mg=mvD2R,解得FD=1560N由牛顿第三定律,滑水车对轨道的压力为1560N。(2)研究从B到F的整个过程中,动能变化为0,由动能定理可得WG+Wf=0其中WG=mgL0sin53°-mgR(1-cos53°),Wf=-μmgL0cos53°代入解得μ=0.5。(3)要使滑水车在F点水平抛出,首先需满足其恰好到达F点,对应临界距离L'=L0=4m滑水车能在F点水平抛出的另一临界条件是滑水车在F点不受支持力,对应情况mg=mvF'2R,解得vF'=50m/s研究从B'到F点,由动能定理有mgL'sin53°-mgR(1-cos53°)-μmgL'cos53°=12mvF'2得L'=9m由以上讨论可知,滑水车在AC上的释放点B'到C的距离L'需满足4m<L'≤9m。5.答案(1)5mg (2)μmgL (3)2mgR+μmgL解析(1)根据题意,小物块恰好到C点,则vC=0从B点到C点小物块机械能守恒有12mvB2=2mgR解得vB=2gRB处,由牛顿第二定律得FN-mg=mvB2R解得FN=5mg;(2)小物块在AB段克服摩擦力所做的功WAB=μmgL;(3)由能量守恒可知,弹射器释放的弹性势能Ep=WAB+2mgR=2mgR+μmgL。6.答案(1)10m/s (2)6005N (3)7.2m≤L≤10m解析(1)游客从A运动到B过程,根据动能定理:mgh1-μ1mgcosθ·h1sinθ=12mvB2解得:vB=2gh1-2μ1gh1cosθsinθ=10m/s。(2)游客在管道BC中做匀速圆周运动,竖直方向有:Fy=mg水平方向有:Fx=mvB2d2FN=Fx2+Fy2=mvB2d22+(mg)2=6005N。(3)若游客从管道CD恰好滑出,从C到D,根据动能定理:-μ2mgL1=0-12mvB2解得:L1=vB22μ2g=10m若游客落水速度恰好为8m/s,根据动能定理:mgh2-μ2mgL2=12mv2-12mvB213\n解得:L2=h2μ2-12μ2g(v2-vB2)=7.2m管道CD的长度7.2m≤L≤10m。7.答案(1)1s (2)22N (3)1.352m解析(1)a=gsinθ,x=Hsinθ,x=12at2,得t=1s。(2)小滑车由A到D过程mg(H-2R)=12mvD2在D点mg+FN=mvD2R,得FN=22N由牛顿第三定律知小滑车对轨道的压力为22N。(3)小滑车要能安全通过圆形轨道,在平台上速度至少为v1,则12mvD12+mg(2R)=12mv12,mg=mvD12R,解得v1=5m/s小滑车要能越过壕沟,在平台上速度至少为v2,则h=12gt2,s=v2t,解得v2=5.2m/s因为v2>v1,所以只要mgH'=12mv22得H'=1.352m。8.答案(1)86.4J (2)31.5m解析(1)小汽车与水平轨道的摩擦阻力Ff=110mg=2N设小车在D点的速度为v1,小车恰能做完整的圆周运动,在D点应满足mg=mv12R,解得v1=18m/s从A到D的过程,运用动能定理有W-Ff(x1+x2)-Fx1-mg·2R=12mv12-12mv02得W=86.4J。(2)从D到C的过程,运用动能定理有mg·2R=12mv22-12mv12得v2=310m/s在CE阶段开启动力回收系统,回收效率30%,即有70%的能量用于克服摩擦力做功,有Ffx3=12mv22×70%得x3=31.5m。9.答案(1)0.2 (2)30.4J (3)19kg解析(1)从木块离开弹簧至静止在水平面上,此过程由动能定理得-μmgL=0-28.8J,解得μ=0.2。(2)设弹簧压缩量为x,木块运动全过程,由动能定理得μmg(L+2x)=12mv2木块压缩弹簧过程,由能量守恒得μmgx+Ep=12mv2联立解得:Ep=30.4J。(3)设木块质量为m',由能量守恒得μm'gx+Ep=12m'v'2,解得m'=19kg。10.答案(1)5013s (2)10m/s (3)3m解析(1)A→B:mgsinθ-μmgcosθ=maa=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s2H-hsinθ=12at2t=5013s。(2)运动员从A滑到C的过程中,克服摩擦力做功为W=μmgcosθH-hsinθ+μmgd=μmg[d+(H-h)cotθ]=500J由动能定理有mg(H-h)-W=12mv2-0得运动员滑到C点时速度的大小v=10m/s。13\n(3)在从C'点滑出至落到水面的过程中,运动员做平抛运动的时间为t,h'=12gt2,t=2h'g下滑过程中克服摩擦做功保持不变W=500J根据动能定理得mg(H-h')-W=12mv'2-0,v'=2g(H-1m-h')运动员在水平方向的位移x=v't=2g(H-1m-h') 2h'g=4(H-1m-h')h'当h'=H-1m2=3m时,水平位移最大。11.答案(1)3m/s (2)1897.5J (3)0.55m解析(1)设运动员从A点到C点的过程中克服阻力做功Wf,由动能定理得12mvC2-0=mgH1-WfWf=μmgcosθ·AB+μmg·BCL1=AB·cosθ+BC代入数据,解得vC=2g(H1-μL1)=3m/s。(2)运动员从C点水平飞出到落到DE轨道上的M点过程中做平抛运动,设经过的时间为t1水平位移x=vCt1竖直位移y=12gt12由几何关系tanα=y-H2x解得t1=1s则运动员下落的高度y=12gt12=5m运动员从C点水平飞出到落到DE轨道上的M点过程中,由机械能守恒定律可得EkM1=12mvC2+mgy=3270JM点距地面的高度hM=H3+H2-y=1m设运动员从M点离开时的动能为EkM2,经过F点的速度为vF,从离开M到圆弧轨道最低点F,由动能定理可得12mvF2-EkM2=mg[hM+R(1-cosα)]-μmgcosαhMsinα在F点,由牛顿第二定律有FN-mg=mvF2R联立解得vF=70m/s,EkM2=1372.5J运动员落在斜面DE上与斜面碰撞过程中损失的动能DEk为ΔEk=EkM1-EkM2=1897.5J。(3)从G点飞出后的运动过程中相对于GK水平面上升到最大高度I处的速度为vI,I到K做平抛运动,则竖直方向H4=12gt22水平方向12L2=vIt2代入数据,解得vI=5m/s由F到I过程,由动能定理可有12mvI2-12mvF2=-mg(hFG+H4)代入数据得hFG=0.45m由几何关系得Δh=R-hFG=0.55m。12.答案(1)2700N (2)10500J (3)见解析解析(1)人刚滑到F点时,根据牛顿第二定律F1-mg=mv2r解得F1=2700N。13\n(2)人从A点到F点,由动能定理得5mgR(1-cos60°)-Wf=0.5mv2得Wf=10500J。(3)当球从A点运动到B点,由动能定理mgR(1-cos60°)=12mvB2得vB=gR小球与轨道无作用力,在B点脱离轨道做平抛运动设小球从B点抛出,落在由ABCDEF构成的连线斜面上(如图),斜面倾角为30°由H=12gt2,x=vBt,Hx=tan30°得x=2033m2Rsin60°>x>Rsin60°解得:小球落在CD上。13.答案(1)415m/s (2)1.12s (3)见解析解析(1)由牛顿第二定律知F-mg=mvC2R得vC=415m/s。(2)从A到C运动过程中,由动能定理W牵引+WG+W阻=12mvC2-0其中W牵引=PtWG=mg[H+R(1-cos37°)]W阻=-0.2mg·Htan37°代入得t=1.12s。(3)要使表演者能完整的运动,临界条件是能恰好经过D点,经过D点的最小速度vD1满足mg=mvD12R,即vD1=gR由机械能守恒得通过E点的最小速度vE1=3gR注意到小圆半径小于大圆半径,故最小速度由大圆半径决定要保证表演者安全,其受到的最大压力FN=8mg可判断得经过E点时,恰好为最大压力值,则8mg-mg=mvE22R2可得vE2=3.5gR此情形下经过C点速度为vC,由机械能守恒mgR=12mvC2-12mvE2得vC=5.5gR,对C点压力为FC-mg=mvC2R,得FC=6.5mg<8mg,说明上述判断正确。由上可得,经过E点的速度最大值为vE2=3.5gR,最小值vE1=3gR由平抛知识,落地时间t=2(R+h)g=1s水平位移x=vt,代入两个临界速度,得水平位移最大值x1=242m最小值x2=12m。13
