专题能力训练18 计数原理与概率1.已知的展开式的前三项的系数成等差数列.(1)求的展开式中所有的有理项;(2)求的展开式中系数的绝对值最大的项.2.现有甲类产品4件,乙类产品3件,丙类产品2件,将这些产品随机地排成一列,则同类产品不相邻的排法有几种?3.已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求的展开式中含a-1项的二项式系数.4.有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车,现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务,则不同的抽调方案共有多少种?8\n5.某出版社的11名工人中,有5人只会排版,有4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从11人中选4人排版,4人印刷,有多少种不同的选法?6.一个包装箱内有6件产品,其中4件正品,2件次品.现随机抽出两件产品,(1)求恰好有一件次品的概率;(2)求都是正品的概率;(3)求抽到次品的概率.7.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计)即为中奖.乙商场:从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外完全相同),如果摸到的是2个红球,即为中奖.试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.8\n8.已知某黄河游览区有两艘游船,这两艘游船每天上午11点出发,下午3点至5点之间返回码头,假如码头只有一个泊位,每艘游船需要停靠码头15min游客下完后即驶离码头,每艘游船返回时在下午3点至5点之间的任何时刻停靠码头是等可能的.请求出乘坐一艘游船游览该黄河游览区,下午返回码头时,停船的泊位是空的概率.9.已知图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是.(1)从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段(每条线段被取到的可能性相等),求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率;(2)求此长方体的体积.8\n10.(2022湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.11.根据世行2022年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.8\n12.某校高三年级共6个班,举行足球赛.(1)若先从6个班中随机抽取两个班举行比赛,则恰好抽中甲班与乙班的概率是多少?(2)若6个班平均分成两组,则甲班与乙班恰好在同一组的概率是多少?(3)若6个班之间进行单循环赛,规定赢一场得2分,平一场得1分,输一场得0分.假定任意两班比赛,赢、平、输的概率都相等,求最终甲班得8分的概率.参考答案专题能力训练18 计数原理与概率1.解:(1)由题意知T1=)n,系数T'1=1;T2=)n-1,系数T'2=n;T3=)n-2,系数T'3=.因为T'1,T'2,T'3成等差数列,所以2T'2=T'1+T'3,即n=1+,得n=8.将式子展开,则有理项有T1=x4,T4=x,T9=x-2.8\n(2)的展开式中系数的绝对值最大的项为T6=)3=-1792,同理T7=1792x-11.故所求系数的绝对值最大的项为T6和T7.2.解:同类产品不相邻的排法种数为2+2+2+2=79.3.解:设的展开式的通项为Tr+1=(4)5-r=·45-r(r=0,1,2,3,4,5),若它为常数项,则=0,即r=2,代入上式可得T3=27,即常数项是27,从而可得中n=7.同理可知.由二项展开式的通项公式知,含a-1项的是第4项,其二项式系数是35.4.解:由题意可知不同的抽调方案共有=27种.5.解:根据分类加法计数原理,这个问题可按只会印刷的4人作为分类标准:第一类:只会印刷的4人全被选出,有种;第二类:从只会印刷的4人中选出3人,有种;第三类:从只会印刷的4人中选出2人,有种.故不同的排法共有=185种.6.解:将六件产品编号如下:A,B,C,D(正品);e,f(次品).从6件产品中选2件,其包含的基本事件为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,e),(A,f),(B,C),(B,D),(B,e),(B,f),(C,D),(C,e),(C,f),(D,e),(D,f),(e,f),共有15种.(1)设恰好有一件次品为事件A,则事件A中基本事件数为8,因此P(A)=.(2)设都是正品为事件B,则事件B中基本事件数为6,因此P(B)=.(3)设抽到次品为事件C,事件C与事件B是对立事件,则P(C)=1-P(B)=1-.7.解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件A,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πr2(r为圆盘的半径),阴影区域的面积为4×r2=r2,所以P(A)=.设顾客去乙商场,一次摸出两个红球为事件B,记盒子中3个白球为a1,a2,a3,3个红球为b1,b2,b3,记(x,y8\n)为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15种.摸到的2个球都是红球的结果有:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共3种.所以P(B)=.因为P(A)<P(B),所以顾客在乙商场中奖的可能性大.8.解:设乘坐的游船下午x时刻停靠码头,另一艘游船下午y时刻停靠码头,下午3点记为0时刻,15min为1个时间单位,到下午5点共8个时间单位,作图如下:随机试验的全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤8,0≤y≤8},则SΩ=64,设“乘坐的游船下午返回时,码头是空的”为事件A,则A={(x,y)|y>x或x-y>1,(x,y)∈Ω},SA=×8×8+×7×7=,所以P(A)=.9.解:(1)记事件M:从6条线段中任取2条线段,其中一条线段长度是另一条线段长度的倍.从6条线段中任取2条线段,有15种等可能的取法:AB和BC,AB和AC,AB和CD,AB和AD,AB和BD,BC和CD,BC和BD,BC和AC,BC和AD,CD和AC,CD和AD,CD和BD,AD和AC,AD和BD,AC和BD.其中事件M包含8种结果:AB和AC,AB和BD,BC和AC,BC和BD,CD和AC,CD和BD,AD和AC,AD和BD.因此P(M)=.故所求事件的概率为.(2)记事件N:向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内.设长方体的高为h,则图2中虚线围成的矩形长为2+2h,宽为1+2h,面积为(2+2h)(1+2h),长方体的平面展开图的面积为2+4h;由几何概型的概率公式知P(N)=,得h=3,所以长方体的体积为1×1×3=3.10.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.8\n(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为1-.故这种说法不正确.11.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=.12.解:(1)从6个班中随机抽取两个班共有种情况,恰好抽中甲班和乙班共有种情况,故所求的概率为.(2)把6个班平均分成2组的分法为种,甲、乙两班分在同一组的分法为2×种,故所求概率为.(3)甲共赛5场,每场得分情况有3种,甲班最终得8分的情形有2种,即赢4输1,赢3平2,按场次共有()种情形,故所求概率为.8
