课时规范练8 幂函数与二次函数一、基础巩固组1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象经过点12,22,则k+α=( )A.12B.1C.32D.22.(2022河北沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么( )A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)3.(2022浙江,5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.45.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是( )A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a6.(2022甘肃兰州模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点18,24,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③f(x1)x1>f(x2)x2;④f(x1)x1<f(x2)x2,其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②④D.②③〚导学号21500708〛7.(2022山东济宁模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( )A.[0,4]B.32,4C.32,+∞D.32,38.若关于x的不等式x2+ax+1≥0在区间0,12上恒成立,则a的最小值是( )A.0B.2C.-52D.-39.已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是 . 10.(2022宁夏石嘴山第三中学模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(-5)= . 11.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=3,则f12= . 12.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是 . 二、综合提升组13.若函数f(x)=x2+ax-12在[0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是( )A.[-2,0]B.[-4,0]C.[-1,0]D.-12,014.(2022福建龙岩一模)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是( )A.a≤1B.a≥1C.a≥32D.a≤3215.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是 . 16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若12<t<34,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及0,12内各有一个零点.〚导学号21500709〛三、创新应用组4\n17.(2022河南豫东联考)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则b-2a-1的取值范围是 . 课时规范练8 幂函数与二次函数1.C 由幂函数的定义知k=1.因为f12=22,所以12α=22,解得α=12,从而k+α=32.2.D 由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=12对称.∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).3.B 因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-a2=b-a24中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B.4.B 当x>0时,由f(x)=x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以x=3;当x<0时,由f(x)=x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以x=-3.故f(x)的零点个数为2.故选B.5.B 因为5-a=15a,又因为当a<0时,函数y=xa在(0,+∞)内单调递减,且15<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.6.D 设函数f(x)=xα,由点18,24在函数图象上得18α=24,解得α=12,即f(x)=x12.因为g(x)=xf(x)=x32为(0,+∞)内的增函数,所以①错误,②正确;因为h(x)=f(x)x=x-12为(0,+∞)内的减函数,所以③正确,④错误.7.D 二次函数图象的对称轴的方程为x=32,且f32=-254,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m∈32,3.8.C 由x2+ax+1≥0,得a≥-x+1x在0,12上恒成立.令g(x)=-x+1x,因为g(x)在0,12上为增函数,所以g(x)max=g12=-52,所以a≥-52.9.12,1 因为x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=12时,x2+y2取最小值12.因此x2+y2的取值范围为12,1.10.-1 由题意得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1)=12-2×1=-1.11.13 设f(x)=xα(α∈R),由题意知4α2α=3,即2α=3,解得α=log23,所以f(x)=xlog23.于是f12=12log23=2-log23=2log213=13.12.(3,5) ∵f(x)=x-12=1x(x>0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数,又f(a+1)<f(10-2a),4\n∴a+1>0,10-2a>0,a+1>10-2a,解得a>-1,a<5,a>3,∴3<a<5.13.C f(x)=x2+ax-12=x2+ax-12a,x≥12,x2-ax+12a,x<12.要使f(x)在[0,+∞)内单调递增,应有-a2≤12,a2≤0,解得-1≤a≤0.故实数a的取值范围是[-1,0].14.C ∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2≥0,∴f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有g(1)=1-a≤0,g(2)=3-2a≤0,解得a≥32.故选C.15.124 (方法一)由|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.所以6ab=2a·3b≤2a+3b22=14(2a+3b)2≤14.当且仅当2a=3b=±12时,等号成立.所以ab的最大值为124.(方法二)由题意得f(0)=3b,f(1)=2a+3b,故a=12(f(1)-f(0)),b=13f(0),因此ab=16(f(1)-f(0))f(0)≤16f(1)22≤124.故ab的最大值为124.16.证明(1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t,∴f(x)=1⇔(x+2t)(x-1)=0,(*)∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1.因此x=1是f(x)=1的实根,即方程f(x)=1必有实根.(2)当12<t<34时,f(-1)=3-4t>0,f(0)=1-2t=212-t<0,f12=14+12(2t-1)+1-2t=34-t>0.又函数f(x)的图象连续不间断,且对称轴x=12-t满足12-t∈-14,0,∴f(x)在区间(-1,0)及0,12内各有一个零点.17.14,1 令f(x)=x2+ax+2b,∵方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,∴f(0)=2b>0,f(1)=1+a+2b<0,f(2)=4+2a+2b>0.作出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(不含边界),其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).4\n设点E(a,b)为区域内的任意一点,则b-2a-1表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率.∵kAD=2-11+3=14,kCD=2-01+1=1,由图可知kAD<k<kCD.故b-2a-1的取值范围是14,1.4
