课时规范练19 三角函数的图象与性质一、基础巩固组1.函数y=|2sinx|的最小正周期为( )A.πB.2πC.π2D.π42.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6等于( )A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.已知函数f(x)=sinωx-π3(ω>0),点A(m,n),B(m+π,n)(|n|≠1)都在曲线y=f(x)上,且线段AB与曲线y=f(x)有五个公共点,则ω的值是( )A.4B.2C.12D.144.若函数f(x)=3cosωx-π4(1<ω<14)的图象关于x=π12对称,则ω等于( )A.2B.3C.6D.95.已知曲线f(x)=sin2x+3cos2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈0,π2,则x0=( )A.π12B.π6C.π3D.5π126.函数y=xcosx-sinx的部分图象大致为( )7.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2,A13,0为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是( )A.2k-23,2k+43,k∈ZB.2kπ-2π3,2kπ+4π3,k∈ZC.4k-23,4k+43,k∈ZD.4kπ-2π3,4kπ+4π3,k∈Z8.(2022辽宁大连一模,理10)若方程2sin2x+π6=n在x∈0,π2上有两个不相等的实数解x1,x2,则x1+x2=( )A.π2B.π4C.π3D.2π39.(2022全国Ⅲ,理6)设函数f(x)=cosx+π3,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C.f(x+π)的一个零点为x=π6D.f(x)在π2,π单调递减〚导学号21500528〛10.若函数y=2sin(3x+φ)|φ|<π2图象的一条对称轴为x=π12,则φ= . 11.已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 . 4\n二、综合提升组12.已知函数①y=sinx+cosx,②y=22sinxcosx,则下列结论正确的是( )A.两个函数的图象均关于点-π4,0成中心对称B.两个函数的图象均关于直线x=-π4对称C.两个函数在区间-π4,π4内都是单调递增函数D.可以将函数②的图象向左平移π4个单位长度得到函数①的图象13.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0成中心对称,且-π2<φ<π2,则函数y=fx+π3为( )A.奇函数且在0,π4内单调递增B.偶函数且在0,π2内单调递增C.偶函数且在0,π2内单调递减D.奇函数且在0,π4内单调递减〚导学号21500529〛14.方程cosx+π2=|log18x|的解的个数为 .(用数值作答) 三、创新应用组15.已知函数f(x)=sin2x+π6,若x1,x2∈-π12,5π12,且满足x1≠x2,f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )A.1B.12C.32D.-116.已知函数f(x)=2msinx-ncosx,直线x=π3是函数f(x)图象上的一条对称轴,则nm= .〚导学号21500530〛 课时规范练19 三角函数的图象与性质1.A 由图象(图象略)知T=π.4\n2.B 由fπ6+x=fπ6-x知,函数图象关于x=π6对称,fπ6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.A 由题意,2T=π,∴T=π2=2πω,∴ω=4,故选A.4.B ∵f(x)=3cosωx-π4(1<ω<14)的图象关于x=π12对称,∴π12ω-π4=kπ,k∈Z,即ω=12k+3.∵1<ω<14,∴由此求得ω=3,故选B.5.C 由题意可知f(x)=2sin2x+π3,其对称中心为(x0,0),则2x0+π3=kπ(k∈Z),∴x0=-π6+kπ2(k∈Z),又x0∈0,π2,∴k=1,x0=π3,故选C.6.C 函数y=f(x)=xcosx-sinx满足f(-x)=-f(x),即函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=f(π)=πcosπ-sinπ=-π<0,故排除A,D,故选C.7.D 由题意,得(23)2+T22=42,即12+π2ω2=16,求得ω=π2.再根据π2·13+φ=kπ,k∈Z,且-π2<φ<π2,可得φ=-π6,∴f(x)=3sinπ2x-π6.令2kπ-π2≤π2x-π6≤2kπ+π2,求得4kπ-2π3≤x≤4kπ+4π3,故f(x)的单调递增区间为4kπ-2π3,4kπ+4π3,k∈Z,故选D.8.C ∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6,方程2sin2x+π6=n在x∈0,π2上有两个不相等的实数解x1,x2,∴2x1+π6+2x2+π62=π2,则x1+x2=π3.9.D 由f(x)=cosx+π3的解析式知-2π是它的一个周期,故A正确;将x=8π3代入f(x)=cosx+π3,得f8π3=-1,故y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称,故B正确;f(x+π)=cosx+4π3,当x=π6时,f(x+π)=cosπ6+4π3=0,故C正确;当x∈π2,π时,x+π3∈5π6,4π3,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D错误.10.π4 因为y=sinx图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z),所以3×π12+φ=kπ+π2(k∈Z),得φ=kπ+π4(k∈Z).又|φ|<π2,所以k=0,故φ=π4.11.π6 由题意cosπ3=sin2×π3+φ,即sin2π3+φ=12,2π3+φ=kπ+(-1)k·π6(k∈Z),因为0≤φ<π,所以φ=π6.12.C ∵函数①y=sinx+cosx=2sinx+π4,②y=22sinxcosx=2sin2x,由于②的图象不关于点-π4,0成中心对称,故A不正确.由于函数①的图象不可能关于直线x=-π4成轴对称,故B不正确.由于这两个函数在区间-π4,π4内都是单调递增函数,故C正确.4\n由于将函数②的图象向左平移π4个单位得到函数y=2sin2x+π4,而y=2sin2x+π4≠2sinx+π4,故D不正确,故选C.13.D 因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0成中心对称,则8π3+φ=kπ+π2,k∈Z.即φ=kπ-13π6,k∈Z,又-π2<φ<π2,则φ=-π6,则y=fx+π3=cos2x+π3-π6=cos2x+π2=-sin2x,所以该函数为奇函数且在0,π4内单调递减,故选D.14.12 ∵cosx+π2=|log18x|,∴|sinx|=|log18x|.作出y=|sinx|与y=|log18x|在(0,+∞)上的函数图象如图所示:由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点,故答案为12.15.B 当x∈-π12,5π12时,f(x)=sin2x+π6的图象如下:满足x1≠x2,f(x1)=f(x2),可得x1,x2是关于x=π6对称.即x1+x22=π6,那么x1+x2=π3,得f(x1+x2)=fπ3=sinπ3×2+π6=12.故选B.16.-233 若x=π3是函数f(x)图象上的一条对称轴,则x=π3是函数f(x)的极值点.f'(x)=2mcosx+nsinx,故f'π3=2mcosπ3+nsinπ3=m+32n=0,所以nm=-233.4
