课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质一、基础巩固组1.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED⊥平面ABCD.(1)若M是AB的中点,求证:平面CEM⊥平面BDE;(2)若N为BE的中点,求证:CN∥平面ADE.2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1.求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.3.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,AB⊥AC,AB=AC=2,点E在AD上,且AE=2ED.(1)已知点F在BC上,且CF=2FB,求证:平面PEF⊥平面PAC;(2)若△PBC的面积是梯形ABCD面积的43,求点E到平面PBC的距离.〚导学号21500561〛8,4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱C1D1的中点,F为棱BC的中点.(1)求证:AE⊥DA1;(2)在线段AA1上求一点G,使得AE⊥平面DFG.二、综合提升组5.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将△BDE折起至△FDE,且∠CEF=60°.(1)求四棱锥F-ADEC的体积;(2)求证:平面ADF⊥平面ACF.6.如图(1),五边形ABCDE中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD沿AD折到△PAD的位置,得到四棱锥P-ABCD,点M为线段PC的中点,且BM⊥平面PCD.图(1)图(2)(1)求证:平面PAD⊥平面ABCD;(2)若四棱锥P-ABCD的体积为23,求四面体BCDM的体积.8,7.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积.(2)如果E是PA的中点,求证:PC∥平面BDE.(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?证明你的结论.〚导学号21500562〛三、创新应用组8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP=2,AB=27,E为棱PD中点.(1)求证:PD⊥平面ABE;(2)求四棱锥P-ABCD外接球的体积.9.如图(1),在平面六边形ABFCDE中,四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=2,AE=DE=2,BF=CF=2,点M,N分别是AD,BC的中点,分别沿直线AD,BC将△ADE,△BCF翻折成如图(2)的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论1或结论2,证明:E,F,M,N四点共面;结论1:过空间一点作已知直线的垂面,有且只有一个;结论2:过平面内一条直线作该平面的垂面,有且只有一个.(2)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°,求三棱锥E-BCF的体积.图(1)图(2)〚导学号21500563〛8,课时规范练41 直线、平面垂直的判定与性质1.证明(1)∵ED⊥平面ABCD,∴ED⊥AD,ED⊥BD,ED⊥CM.∵AE=BE,∴Rt△ADE≌Rt△BDE,∴AD=BD.连接DM,则DM⊥AB,∵AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD,∴四边形BCDM是正方形,∴BD⊥CM.又DE⊥CM,BD∩DE=D,∴CM⊥平面BDE,∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面BDE.(2)由(1)知,AB=2CD,取AE中点G,连接NG,DG,在△EBA中,∵N为BE的中点,∴NG∥AB且NG=12AB,又AB∥CD,且AB=2CD,∴NG∥CD,且NG=CD,∴四边形CDGN为平行四边形,∴CN∥DG.又CN⊄平面ADE,DG⊂平面ADE,∴CN∥平面ADE.2.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1=A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F=A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(1)证明∵AB⊥AC,AB=AC,∴∠ACB=45°.∵底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AD∥BC,∴∠ACD=45°,∴AD=CD,∴BC=2AC=2AD.∵AE=2ED,CF=2FB,∴AE=BF=23AD,∴四边形ABFE是平行四边形,∴AB∥EF.8,又AB⊥AC,∴AC⊥EF.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥EF.∵PA∩AC=A,∴EF⊥平面PAC.∵EF⊂平面PEF,∴平面PEF⊥平面PAC.(2)解∵PA⊥底面ABCD,且AB=AC,∴PB=PC,取BC的中点G,连接AG,则AG⊥BC,AG=CD=1.设PA=x,连接PG,则PG=x2+1,∵△PBC的面积是梯形ABCD面积的43倍,∴12×2×PG=43×12×(1+2)×1,即PG=2,求得x=3,∵AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴AD∥平面PBC,∴点E到平面PBC的距离即是点A到平面PBC的距离,∵VA-PBC=VP-ABC,S△PBC=2S△ABC,∴点E到平面PBC的距离为12PA=32.4.(1)证明连接AD1,BC1(图略).由正方体的性质可知,DA1⊥AD1,DA1⊥AB,又AB∩AD1=A,∴DA1⊥平面ABC1D1.∵AE⊂平面ABC1D1,∴AE⊥DA1.(2)解所求点G即为点A1,证明如下:由(1)可知AE⊥DA1,取CD的中点H,连接AH,EH(图略),由DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,可得DF⊥平面AHE.∵AE⊂平面AHE,∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D,∴AE⊥平面DFA1,即AE⊥平面DFG.5.解(1)∵D,E分别是AB,BC边的中点,∴DE
