课时规范练23 解三角形一、基础巩固组1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,A=60°,则c=( )A.12B.1C.3D.22.在△ABC中,已知acosA=bcosB,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.已知△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,BC边上的中线AD=7,AB=2,则S△ABC=( )A.3B.23C.33D.64.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cosA=( )A.31010B.1010C.-1010D.-310105.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )A.7.5B.7C.6D.5〚导学号21500534〛6.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,则C= . 7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=32c,则ab的最小值为 . 8.如图所示,长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=.9.(2022全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.5\n〚导学号21500535〛10.已知岛A南偏西38°方向,距岛A3nmile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10nmile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5h能截住该走私船?参考数据:sin38°=5314,sin22°=3314二、综合提升组11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=( )A.π12B.π6C.π4D.π312.在△ABC中,D为BC边上的一点,AD=BD=5,DC=4,∠BAD=∠DAC,则AC=( )A.9B.8C.7D.613.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN= m. 14.(2022河南郑州一中质检一,理17)已知△ABC外接圆直径为433,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=60°.(1)求a+b+csinA+sinB+sinC的值;(2)若a+b=ab,求△ABC的面积.三、创新应用组15.(2022福建泉州期末,理10)已知点P12,2是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(φ>0)图象上的一个最高点,B,C是与P相邻的两个最低点.若cos∠BPC=725,则f(x)的图象的对称中心可以是( )A.(0,0)B.(1,0)C.(2,0)D.(3,0)16.(2022宁夏银川九中二模,理17)已知函数f(x)=3sinωx-2sin2ωx2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.5\n〚导学号21500536〛课时规范练23 解三角形1.B 由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.2.D ∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,∴A=B,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.3.C ∵A,B,C成等差数列,∴B=60°.在△ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6,∴S△ABC=12AB·BC·sinB=12×2×6×32=33.4.C (方法一)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.由余弦定理,得cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=2AD2+5AD2-9AD22×2AD×5AD=-1010,故选C.(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,由题意知∠BAD=π4.设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4.∵BC=3AD,BD=AD.∴DC=2AD,AC=5AD.∴sinα=25=255,cosα=15=55.∴cos∠BAC=cosα+π4=cosαcosπ4-sinαsinπ4=22(cosα-sinα)=22×55-255=-1010,故选C.5.D ∵bcosA+acosB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b×b2+c2-a22bc+a×a2+c2-b22ac=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.6.π3 在△ABC中,∵(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,∴(a-c)(a+c)b=a-b,∴a2+b2-c2=ab,∴cosC=a2+b2-c22ab=12,∴C=π3.7.12 在△ABC中,由条件并结合正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=-12,C=2π3.由于△ABC的面积为S=12ab·sinC=34ab=32c,∴c=12ab.再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cosC,整理可得14a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,5\n∴ab≥12,故答案为12.8.2315 在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cosα=516,则sinα=23116,所以tanα=sinαcosα=2315.9.解(1)由已知可得tanA=-3,所以A=2π3.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos2π3,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.10.解设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=ACsin∠BACBC=5×327=5314,所以∠ABC=38°.又∠BAD=38°,所以BC∥AD.故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.11.B 由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,整理得sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=0,因为sinC>0,所以sinA+cosA=0,即tanA=-1,因为A∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,即sinC=12,所以C=π6,故选B.12.D 设∠B=θ,则∠ADC=2θ,在△ADC中,由DCsinθ=ACsin2θ,所以AC=8cosθ,在△ABC中,由ACsinθ=9sin2θ,可得8cosθsinθ=9sin2θ,所以16cos2θ=9,可得cosθ=34,所以AC=8×34=6.故选D.13.150 在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=1002m.5\n在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,由正弦定理,得ACsin45°=AMsin60°,因此AM=1003m.在Rt△MNA中,AM=1003m,∠MAN=60°,由MNAM=sin60°,得MN=1003×32=150(m).14.解(1)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R=433,∴a+b+csinA+sinB+sinC=2R=433.(2)由正弦定理可得csin60°=433,∴c=2.由余弦定理可得22=a2+b2-2abcos60°,化为a2+b2-ab=4.又a+b=ab,∴(a+b)2-3ab=a2b2-3ab=4,解得ab=4.∴△ABC的面积S=12absinC=12×4×sin60°=3.15.C 如图,取BC的中点D,连接PD,则PD=4.设BD=x,则PB=PC=x2+16.由余弦定理可得,(2x)2=(x2+16)+(x2+16)2-2(x2+16)2cos∠BPC,解得x=3(负值舍去).则B-52,-2,C72,-2,故BP,CP的中点都是f(x)图象的对称中心.16.解(1)f(x)=3sinωx-2sin2ωx2+m=3sinωx-1+cosωx+m=2sinωx+π6-1+m.依题意2πω=3π,ω=23,所以f(x)=2sin2x3+π6-1+m.当x∈[0,π]时,π6≤2x3+π6≤5π6,12≤sin2x3+π6≤1,所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0.所以f(x)=2sin2x3+π6-1.(2)因为f(C)=2sin2C3+π6-1=1,所以sin2C3+π6=1.而π6<2C3+π6<5π6,所以2C3+π6=π2.解得C=π2.在Rt△ABC中,因为A+B=π2,2sin2B=cosB+cos(A-C),所以2cos2A-sinA-sinA=0,解得sinA=-1±52.因为0<sinA<1,所以sinA=5-12.5
