课时规范练49 双曲线一、基础巩固组1.已知双曲线x2a2-y23=1(a>0)的离心率为2,则a=( )A.2B.62C.52D.12.(2022山西实验中学3月模拟,理4)过双曲线x2-y2b2=1(b>0)的右焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为E,O为坐标原点,若∠OFE=2∠EOF,则b=( )A.12B.3C.2D.333.(2022河南濮阳一模,理11)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<π3,则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,6)C.(1,23)D.(3,33)4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )A.x29-y213=1B.x213-y29=1C.x23-y2=1D.x2-y23=15.已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是( )A.-33,33B.-36,36C.-223,223D.-233,2336.(2022石家庄二中模拟,理7)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,直线l经过点F,若点A(a,0),B(0,b)关于直线l对称,则双曲线C的离心率为( )A.3+12B.2+12C.3+1D.2+17.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=18.(2022安徽淮南一模)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A.(1,+∞)B.102,+∞C.1,102D.1,52〚导学号21500574〛9.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点,则双曲线的离心率为 . 10.已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 . 11.(2022江苏无锡一模,8)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线x2a2-y23=1的右焦点,则双曲线的离心率为 . 二、综合提升组12.(2022河南郑州一中质检一,理11)已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则OM·ON的值为( )5\nA.3B.4C.5D.与P的位置有关13.(2022河南南阳一模,理10)已知F2,F1是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B.3C.2D.2〚导学号21500575〛14.(2022江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x23-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是 . 15.(2022山东,理14)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 . 三、创新应用组16.(2022河北石家庄二中模拟,理11)已知直线l1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB中点M的横坐标为b,过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为( )A.1+52B.1+52C.1+32D.1+32〚导学号21500576〛课时规范练49 双曲线1.D 由已知得a2+3a=2,且a>0,解得a=1,故选D.2.D 由题意,∠OFE=2∠EOF=60°,∴双曲线的一条渐近线的斜率为33,∴b=33,故选D.3.A 由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c2a2-1=b4a2,∴|AB|=2b2a.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<π3,∴tan∠AF2F1=b2a2c<33,e=ca>1.5\n∴c2-a22ac<33,12e-12e<33.解得e∈(1,3),故选A.4.D 由题意知,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax.因为该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,所以2ba1+ba2=3,解得b2=3a2.又因为c2=a2+b2=4,所以a2=1,b2=3.故所求双曲线的方程为x2-y23=1.5.A 由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又x022-y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-33<y0<33.6.C 由题意kAB=-ba,∴直线l的方程为y=ab(x+c),AB的中点坐标为a2,b2.∴b2=aba2+c,化简整理得b2=a2+2ac,即c2-2ac-2a2=0,e2-2e-2=0,解得e=1+3,e=1-3(舍去),故选C.7.D ∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.∴双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.8.C 由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤102a,由e=ca>1可得1<e≤102,故选C.9.2 由题意,所给直线应与双曲线的一条渐近线y=bax平行,∴ba=1,即c2-a2a2=1.解得e2=2,故答案为2.10.(-1,3) 因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,故选A.11.2 抛物线y2=8x的焦点为(2,0),则双曲线x2a2-y23=1的右焦点为(2,0),即有c=a2+3=2,解得|a|=1,所以双曲线的离心率为e=c|a|=2.故答案为2.5\n12.A 取点P(2,0),则M(2,1),N(2,-1),∴OM·ON=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴OM·ON=4-1=3.故选A.13.C 由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=abx,则点F2到渐近线的距离为bca2+b2=b.设点F2关于渐近线的对称点为点M,F2M与渐近线交于点A,∴|MF2|=2b,A为F2M的中点.又O是F1F2的中点,∴OA∥F1M,∴∠F1MF2为直角.∴△MF1F2为直角三角形.∴由勾股定理得4c2=c2+4b2.∴3c2=4(c2-a2),∴c2=4a2.∴c=2a,∴e=2.故选C.14.23 该双曲线的右准线方程为x=310=31010,两条渐近线方程为y=±33x,得P31010,3010,Q31010,-3010,又c=10,所以F1(-10,0),F2(10,0),四边形F1PF2Q的面积S=210×3010=23.15.y=±22x 抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.所以y1+y2=p.联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x.16.B 解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(b,yM),由x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,得(x1-x2)(x1+x2)a2-(y1-y2)(y1+y2)b2=0,又y1-y2x1-x2=kl1=-1kl2=c-byM,x1+x2=2b,y1+y2=2yM,代入上式得a2=bc,即a4=(c2-a2)c2,有e4-e2-1=0,得e=1+52.解法二:设M(b,d),则kOM=db,则由双曲线中点弦的斜率公式kAB·kOM=b2a2,得kAB=b3a2d,∵过点M且与直线l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,∴kl2=kMF=db-c,kAB·kl2=-1,5\n即b3a2d·db-c=-1,化简得bc=a2.∴c2-a2·c=a2,e4-e2-1=0,e=1+52.5
