课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组 1.设命题p:存在n∈N,n2>2n,则¬p为( )A.任意n∈N,n2>2nB.存在n∈N,n2≤2nC.任意n∈N,n2≤2nD.存在n∈N,n2=2n2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+12≤0”是假命题,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(-3,+∞)D.(-3,1)3.(2020广东广州一模,文5)已知命题p:任意x∈R,x2-x+1<0;命题q:存在x∈R,x2>x3,则下列命题中为真命题的是( )A.p且qB.¬p且qC.p且¬qD.¬p且¬q4.命题p:存在x∈R,x-2>0;命题q:任意x∈R,x<x,则下列命题中为真命题的是( )A.p或qB.p且qC.(¬p)或qD.(¬p)且(¬q)5.(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:任意f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为( )A.任意f(x)∈A,|f(x)|∉BB.任意f(x)∉A,|f(x)|∉BC.存在f(x)∈A,|f(x)|∉BD.存在f(x)∉A,|f(x)|∉B6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;命题q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A.p且qB.(¬p)且qC.p且(¬q)D.(¬p)且(¬q)7.已知命题p:存在x∈R,2x<x-1;命题q:在△ABC中,“BC2+AC2<AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是( )A.¬qB.p且qC.p或(¬q)D.(¬p)且q8.(2020湖南永州二模,理5)下列说法正确的是( )A.若“p或q”为真命题,则“p且q”为真命题B.命题“任意x>0,ex-x-1>0”的否定是“存在x≤0,ex-x-1≤0”C.命题“若x≥1,则1x≤1”的逆否命题为真命题D.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件9.已知命题“任意x∈R,x2-5x+152a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是 . 10.下列结论:①若命题p:存在x∈R,tanx=2,命题q:任意x∈R,x2-x+12>0,则命题“p且(¬q)”是假命题;\n②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是ab=-3;③命题“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为 . 综合提升组11.(2020广东江门4月模拟,理5)已知命题p:任意x∈R,x2+x-1>0;命题q:存在x∈R,sinx+cosx=2.则下列判断正确的是( )A.¬p是假命题B.q是假命题C.p或q是假命题D.(¬p)且q是真命题12.(2020湖南百校联考,10改编)设命题p:存在a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则下列结论正确的是( )A.p为假命题B.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是减少的C.p的逆命题为假命题D.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的13.给出如下四个命题:①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“任意x∈R,则x2+1≥1”的否定是“存在x∈R,则x2+1<1”;④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.其中正确的命题的个数是( )A.1B.2C.3D.414.(2020山东潍坊模拟)下列三个说法:①若命题p:存在x∈R,x2+x+1<0,则¬p:任意x∈R,x2+x+1≥0;②“φ=π2”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;③命题“若0<a<1,则loga(a+1)<loga1+1a”是真命题.其中正确的是 (填序号). 15.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是 . 创新应用组16.下列说法错误的是( )A.“m>1”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的充分不必要条件B.命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形”是真命题C.设命题p:任意x∈[1,3),函数f(x)=log2(tx2+2x-2)恒有意义,若¬p为真命题,则t的取值范围为(-∞,0]D.命题“存在x∈R,ex≤0”是真命题17.(2020全国百强名校联考,理17)设命题p:函数f(x)=1x2-4x+a2的定义域为R;命题q:不等式a2-5a-6≥0恒成立,如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.\n参考答案课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.C ∵p:存在n∈N,n2>2n,∴¬p:任意n∈N,n2≤2n.故选C.2.B 由题意,“任意x∈R,使2x2+(a-1)x+12>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4<0,即|a-1|<2,解得-1<a<3,故选B.3.B 对于命题p,可知Δ=(-1)2-4<0,所以任意x∈R,x2-x+1>0,故命题p为假命题,对于命题q,x=-1时,(-1)2>(-1)3成立,故命题q为真命题,所以p且q为假命题,¬p且q为真命题,p且¬q为假命题,¬p且¬q为假命题,故选B.4.A 命题p:存在x∈R,x-2>0为真命题,命题¬p:任意x∈R,x-2≤0为假命题;命题q:任意x∈R,x<x为假命题,命题¬q:存在x∈R,x≥x为真命题,故选A.5.C 全称命题的否定为特称命题,即改写量词,否定结论.所以¬p:存在f(x)∈A,|f(x)|∉B.6.D 命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.q:由a>1,b>1得到ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.∴真命题是(¬p)且(¬q).故选D.7.D 对于命题p,注意到y=2x图像在y=x-1图像的上方,故命题为假命题.对于命题q,BC2+AC2<AB2只是说明C为钝角,故为充分不必要条件,所以q为真命题,故(¬p)且q为真命题.故选D.8.C “p或q”为真,则命题p,q有可能一真一假,则“p且q”为假,故选项A错误;命题“任意x>0,ex-x-1>0”的否定应该是“存在x>0,ex-x-1≤0”,故选项B错误;因为命题“若x≥1,则1x≤1”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故选项C正确;若x=-1,则x2-5x-6=0;若x2-5x-6=0,则x=-1或x=6.所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项D错误.故选C.9.56,+∞ 由“任意x∈R,x2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+152a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+152a,则其图像恒在x轴的上方,所以Δ=25-4×152a<0,解得a>56.故实数a的取值范围为56,+∞.10.①③ 在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p且(¬q)”为假命题,故①正确;在②中,l1⊥l2等价于a+3b=0,而ab=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出ab=-3,故②不正确;在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,所以③正确.11.D 由x2+x-1=(x+12)2-54≥-54,所以命题p:任意x∈R,x2+x-1>0为假命题;由sinx+cosx=2sinx+π4得,当x=π4时,sinx+cosx=2.所以命题q:存在x∈R,sinx+cosx=2是真命题.\n则p或q是真命题;(¬p)且q是真命题.故选D.12.D 当a=1时,f'(x)=3x2-1>0对x∈(1,+∞)恒成立,故p为真命题,故A错误;当f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则f'(x)=3x2-a≥0,所以a≤3x2,3x2>3,即存在a∈(0,+∞),故命题p的逆命题也为真命题,故C错误;因为“是增加的”的否定为“不是增加的”,所以¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的,故D正确.13.C 根据复合命题真假的判断,若“p且q”为假命题,则p或q至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”为真命题,所以②正确;根据含有量词命题的否定,“任意x∈R,x2+1≥1”的否定是“存在x∈R,x2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B”能推出“sinA>sinB”且“sinA>sinB”能推出“A>B”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C.14.① ①显然正确;“φ=π2”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故②错误;因为0<a<1,所以1+1a>1+a,所以loga(a+1)>loga1+1a,故③错误.15.14,+∞ 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=14-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥14-m,所以m≥14.16.D 因为当x≥1时,log2x≥0,所以当m>1时,f(x)=m+log2x>1不存在零点,当函数f(x)=m+log2x在区间[1,+∞)上不存在零点时,解得m>0,所以m>1是此函数不存在零点的充分不必要条件,故A正确;在三角形中,内角在(0,π)内,故sinA=sinB等价于A=B,故B正确;若¬p为真命题,则p为假命题,即不等式tx2+2x-2≤0在[1,3)上有解,即t≤2x2-2x在[1,3)上有解,设g(x)=2x2-2x,故t≤g(x)max,当1≤x<3时,13<1x≤1,所以g(x)=2x2-2x=21x-122-12∈-12,0,所以t≤g(x)max=0.故C正确;因为任意x∈R,ex>0,所以命题“存在x∈R,ex≤0”是假命题.故D错误.故选D.17.解因为命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,所以p,q一真一假.若p假q真,则¬p:函数f(x)=1x2-4x+a2的定义域不为R,所以Δ=16-4a2≥0,解得-2≤a≤2;由a2-5a-6≥0,解得a≤-1或a≥6,所以a的取值范围是[-2,-1].若p真q假,则p:函数f(x)=1x2-4x+a2的定义域为R,所以Δ=16-4a2<0,解得a<-2或a>2.¬q:不等式a2-5a-6<0,解得-1<a<6.所以a的取值范围是(2,6).综上可得,a∈[-2,-1]∪(2,6).
