第3讲相关性与最小二乘估计、统计案例1．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝0.5＋2x，则变量x，y是( )A．线性正相关关系 B．由回归方程无法判断其正负相关C．线性负相关关系D．不存在线性相关关系解析：选A.随着变量x增大，变量y有增大的趋势，则x，y称为正相关．2．(2022·衡水调研)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表．根据下表可得回归方程y＝bx＋a中的b＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为( )广告费用x(万元)2345销售额y(万元)26394958A.112.1万元 B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元解析：选C.因为(x，y)在回归直线y＝bx＋a上，且x＝(4＋2＋3＋5)＝，y＝(49＋26＋39＋58)＝43，将代入y＝10.6x＋a中得a＝5.9，所以y＝10.6x＋5.9，当x＝10时，y＝106＋5.9＝111.9.所以广告费用为10万元时销售额为111.9万元．3．(2022·济南模拟)某餐厅的原料费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为y＝8.5x＋7.5，则表中m的值为( )x24568y2535m5575A.50B．55C．60D．65解析：选C.x＝(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝(25＋35＋m＋55＋75)＝38＋m.又回归直线必经过样本中心点，于是有8.5×5＋7.5＝38＋m，解得m＝60.4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2＝，算得χ2＝≈7.8.附表：P(χ2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选C.根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635，5\n可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.5．(2022·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为______．解析：因为χ2≈4.844，根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.答案：5%6．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额y(单位：万元)与当天的平均气温x(单位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y的数据列于下表：平均气温(℃)－2－3－5－6销售额(万元)20232730根据以上数据，用线性回归的方法，求得y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a的系数b＝－，则a＝________．解析：由表中数据可得＝－4，＝25，所以线性回归方程y＝－x＋a过点(－4，25)，代入方程得25＝－×(－4)＋a，解得a＝.答案：7．(2022·山西省四校联考)近几年出现各种食品安全问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解三高疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到如下的列联表：患三高疾病不患三高疾病总计男630女总计36(1)请将列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患三高疾病的人群中抽取9人，其中女性抽取多少人？(2)为了研究三高疾病是否与性别有关，请计算出统计量χ2，并说明你有多大的把握认为患三高疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)解：(1)根据题意可得患三高疾病不患三高疾病总计男24630女1218305\n总计362460在患三高疾病的人群中抽取9人，则抽取比例为＝.故女性应该抽取12×＝3人．(2)因为χ2＝＝10>7.879，所以有99.5%的把握认为患三高疾病与性别有关．8．(2022·唐山第一次模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t＝8时，细菌繁殖个数．解：(1)由表中数据计算得，＝5，＝4，(ti－)2＝10，b＝＝0.85，a＝－b＝－0.25. 所以回归方程为y＝0.85t－0.25.(2)将t＝8代入(1)的回归方程中得y＝0.85×8－0.25＝6.55.故预测t＝8时，细菌繁殖个数为6.55千个．1．(2022·郑州第二次质量预测)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y＝－4x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.B.C.D.解析：选B.由表中数据得x＝6.5，y＝80，由y＝－4x＋a，得a＝106，故线性回归方程为y＝－4x＋106.将(4，90)，(5，84)，(6，83)，(7，80)，(8，75)，(9，68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86，68<－4×9＋106＝70，故(5，84)和(9，68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为＝.2．在2022年1月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．解析：x＝＝8＋，y＝＝6＋，回归直线一定经过样本中心(x，y)，5\n即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.又因为m＋n＝20，即解得故n＝10.答案：103．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图(如图(1))和女生身高情况的频率分布直方图(如图(2))．已知图(1)中身高在170～175cm的男生有16名．(1)试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？(2)根据频率分布直方图，完成下面的2×2列联表，并判断能有多大(百分数)的把握认为身高与性别有关？身高≥170cm身高<170cm总计男生女生总计解：(1)由题图(1)可知，身高在170～175cm的男生的频率为0.08×5＝0.4，设抽取的学生中，男生有n1名，则0.4＝，解得n1＝40.所以女生有80－40＝40(名)．(2)由(1)及频率分布直方图知，身高≥170cm的男生有(0.08＋0.04＋0.02＋0.01)×5×40＝30(名)，身高≥170cm的女生有0.02×5×40＝4(名)，所以可得下列列联表：身高≥170cm身高<170cm总计男生301040女生43640总计344680由列联表中数据得χ2的观测值为k＝≈34.578>10.828.所以能有99.9%的把握认为身高与性别有关．4．下表是2022年美国旧轿车价格的调查资料，今以x表示轿车的使用年数，y表示相应的平均价格，求y关于x的回归方程．使用年数x(年)12345678910平均价格y(美元)2651194314941087765538484290226204解：由已知得散点图如图．5\n由散点图看出y与x呈指数关系，于是令z＝lny.变换后得数据：x12345678910z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318由图可知，各点基本上处于一直线，由表中数据可得线性回归方程为z＝8.165－0.298x.因此旧车的平均价格对使用年数的非线性回归方程为y＝e8.165－0.298x.5
