第5讲古典概型1．(2022·唐山统考)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是( )A. B.C.D.解析：选B.抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3，共6种情况，所以向上的点数之差的绝对值为3的概率为P＝＝，故选B.2．(2022·江西省师大附中检测)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙相邻，则甲、丙相邻的概率为( )A.B.C.D.解析：选B.五人排队，甲、乙相邻的排法有AA＝48(种)，若甲、丙相邻，此时甲在乙、丙中间，排法有AA＝12(种)，故甲、丙相邻的概率为＝.3．(2022·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )A.B.C.D.解析：选B.由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，所以所求概率P＝＝.4．(2022·亳州高三质量检测)已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是( )A.B.C.D.解析：选C.易知过点(0，0)与y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，5\n共4个，由古典概型知概率为＝.5．(2022·商丘模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A.B.C.D.解析：选D.f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率为＝.6．(2022·河南省三市调研)现有3位男生和3位女生共6位同学随机站成一排，在男生甲不站两端的条件下，有且只有2位女生相邻的概率为( )A.B.C.D.解析：选B.6位同学随机排成一排，有A种排法，其中男生甲不站两端，有且仅有2位女生相邻的排法分两种情况：当甲排在2或5号位置时，各有2AAA＋AA＝60种排法；当甲排在3或4号位置时，各有2AAA＋AA＝84种排法，故所求概率为＝，故选B.7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不少于90分的成绩未记录，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．解析：由题意得，基本事件总数为10，满足要求的有8个，所以所求概率为＝.答案：8．(2022·南昌一模)将a，b，c，d四封不同的信随机放入A，B，C，D4个不同的信封里，每个信封至少有一封信．其中a没有放入A中的概率是________．解析：将四封不同的信随机放入四个不同的信封中，每个信封至少有一封信的放法有A＝24种，其中信a放入A中的结果有A＝6种，故“信a没有放入A中”的概率为1－＝1－5\n＝1－＝.答案：9．(2022·忻州高三联考)某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．解析：男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－＝.答案：10．在集合A＝{2，3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1，2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析：点P(m，n)共有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，6种情况，只有(2，1)，(2，2)这两种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝.答案：11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解：(1)由题意知，m∈{1，2，3，4，5，6}，n∈{1，2，3，4，5，6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．使得a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3，1)、(6，2)，所以事件a⊥b的概率为＝.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10.共有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)6种使得|a|≤|b|，其概率为＝.12．编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：区间[10，20)[20，30)[30，40]人数(2)从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解：(1)4，6，6.(2)①得分在区间[20，30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，5\n{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种．②“从得分在区间[20，30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种．所以P(B)＝＝.1．(2022·淄博一模)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选D.对于a与b各有6种情形，故总数为36种．两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝，两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，所以P2＝＝，因为点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，所以＋＜，解得－＜m＜，故选D.2．(2022·江苏省扬州中学模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．解析：将一枚骰子抛掷两次共有36种结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，属于古典概型．方程x2＋bx＋c＝0有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b≥2，其包含的结果有：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(4，4)，(5，4)，(6，4)，(5，5)，(6，5)，(5，6)，(6，6)，共19种，由古典概型概率计算公式可得P＝.答案：3．(2022·青岛检测)某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，5\n表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率；(2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率．解：(1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A1、B1、C1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A2、B2、C2，则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9个．其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A1，A2)，(B1，B2)，(C1，C2)，共3个，所以所求概率P1＝＝.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a1，表演笛子演奏的2人分别为b1、b2，表演唱歌的3人分别为c1、c2、c3.则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共9个，所以所求概率P2＝＝.4．已知集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}，Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，试计算：(1)点A正好在第三象限的概率；(2)点A不在y轴上的概率；(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的概率．解：由集合P＝{x|x(x2＋10x＋24)＝0}可得P＝{－6，－4，0}，由Q＝{y|y＝2n－1，1≤n≤2，n∈N*}可得Q＝{1，3}，则M＝P∪Q＝{－6，－4，0，1，3}，因为点A的坐标为(x′，y′)，且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为(－6，－6)，(－6，－4)，(－6，0)，(－6，1)，(－6，3)，…，(3，3)，共25种．(1)点A正好在第三象限的可能情况为(－6，－6)，(－4，－6)，(－6，－4)，(－4，－4)，共4种，故点A正好在第三象限的概率P1＝.(2)点A在y轴上的可能情况为(0，－6)，(0，－4)，(0，0)，(0，1)，(0，3)，共5种，故点A不在y轴上的概率P2＝1－＝.(3)点A正好落在区域x2＋y2≤10上的可能情况为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(3，1)，(1，3)，(3，0)，(0，3)，(1，1)，共8种，故点A落在区域x2＋y2≤10上的概率P3＝.5
