2022高考数学考点预测根本初等函数Ⅱ（三角函数）三角函数既是高中数学的重点内容，又是学习高等数学的必备根底，更是其它学科的解题工具之一．三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次清楚，变化多端，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点．为帮助同学们更好复习好三角函数这一章，特提醒同学们注意以下东西．［本单元知识构造］本单元学习重点本章重点:一是学习任意角的三角函数，包括它的定义、图象和性质及应用，以及它们之间的关系；二是三角函数式的变换，主要包括三角函数式的求值、化简和三角函数式的证明（包括三角恒等式、条件等式及三角不等式的证明）．要熟练进展三角变换必须掌握和、差、倍角公式等.学习中应遵循大纲所规定的内容和要求，特别要熟练掌握正弦、余弦的倍角公式的变形及应用，以及一个补充知识点――辅助角公式:（其中）.本单元学习难点66/66\n（1）关于已知三角函数值求角是学习的一个难点.建议：求解过程为：①如果函数值为正数，那么先求出对应的锐角xl；②如果函数值为负数，那么先求出与其绝对值相应的锐角x1，并设辅助角θ＝x1,并决定所求角x可能是第几象限角,那么根据角x可能是第几象限角，得出（0,2π）内对应的角——如果它是第二象限角，那么可表示为－θ＋π，如果它是第三或第四象限角，那么可表示为θ＋π或－θ＋2π；③如果要求出（0,2π）以外对应的角，那么可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.从而训练同学们的化归意识.另外,也可以利用三角函数线或三角函数图像观察求解,培养同学们的数形结合思想．（2）三角变换是利用三角公式进展化简、求值和证明三角等式的诸变形,它是三角中最为灵活的局部,也是难点.建议：进展三角变换可归纳为三句话：找出差异(主要是指角、函数、运算的差异)；抓住联系(利用公式，建立差异之间的联系)；促进转化(灵活选择公式，促进差异转化，使差异消失，以到达统一).当然，也要注意一些特殊的方法技巧，如：1的代换；凑角的变形(不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比方相差180度,90度等)；升幂降次的转换；正弦、余弦的齐次幂化正切等．（3）本章的突出特点是概念多、公式多，也给同学们带来学习的第三个难点.建议：复习时，一方面，注意借助三角函数线和三角函数的图象，更形象直观地掌握三角函数的概念和性质，建立数形结合的数学思想；另一方面，66/66\n从公式的逻辑关系、规律、特点、理解、比照地记忆好三角公式，并重视等价转化的数学思想，提高运算和变形能力.本单元易混内容由于三角公式多，运用公式时出现张冠李戴；变形时由于各种原因角的范围弄错出现增根或失根；要注意正切函数定义域的限制；凡遇到参数或字母时，注意分情况进展讨论；对平方关系和倍角公式产生的无理式选择根号前的正负号可能产生错误．本单元考点分析近几年来高考试题，有关三角函数的内容平均每年有20分左右，约占15%，试题内容主要有两方面：其一考察三角函数图象和性质，尤其是三角函数的最大值、最小值、周期性、奇偶性、单调性等，题型多为填空题和选择题；其二是考察三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，解决简单的综合问题，除了在选择题和填空题中出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容．这局部题量和难度都可能不会太大，题型仍以填空题和选择题为主，重点考察三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值等根底知识，教学中应引起重视．高考试题中的三角函数题相比照较传统，难度较低，位置靠前，重点突出，属容易题，从得分策略来说，这是不应失分的兵家必争之地．因此，在复习过程中既要注重三角知识的根底性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质，以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识．主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：66/66\n第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数根本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等．第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等．第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。如分段函数值，求复合函数值域等．考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进展弧度与角度的换算；2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的根本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义；3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；4．能正确运用三角公式，进展简单三角函数式的化简、求值和恒等式；5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义；6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx,arcosx,arctanx表示；7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．高考热点分析66/66\n三角局部的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这局部知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考察．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期；2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为根底题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进展化简、求值解决简单的综合题等；3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考察三角函数的知识．高考复习建议本章内容由于公式多，习题变换灵活且思想方法丰富，建议复习本章时应注意以下几点：1．首先对现有的公式自己推导一遍，弄清公式间的相互联系和推导体系．2．对公式要抓住其特点进展记忆．应用时，既要考虑公式成立的条件，也要考虑符号的取舍，还要熟练掌握公式的正用、逆用、变形用或在特定条件下用．3．三角函数是中学阶段研究的一类初等函数，故对三角函数的性质研究应结合一般函数的研究方法进展比照学习．如定义域、值域、奇偶性、单调性、图象变换等．通过比照，加深对函数性质的理解．4．“变”为主线，抓好训练：角的变换，三角函数名称的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进展归类，并进展分析比较，寻找解题规律．66/66\n5．由于三角函数是我们研究数学的一门根底工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系．如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等．思想方法1、方程思想：有些三角问题可以直接转化为一元二次方程求解；还有些三角问题，依据题设条件和求解构造，适中选取三角公式联立组成方程组，以到达消元求值的目的，这是方程思想在三角求值中最正确表现；对于、、这三个式子，已知其中一个式子的值，从解方程的角度可求其余两个式子；2、分类讨论思想：由于三角函数值或性质受角所在象限的影响这就需要对角在不同的象限进展分类讨论；3、数形结合思想：利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象解答三角问题，形象直观，是典型的“以形助数”手段，而利用三角公式证明三角函数问题的几何性质，又是典型的“以数助形”的解题策略；4、化归思想：主要表达在：（1）化多角的形式为单角的形式；（2）化多种函数名称为一种函数名称；（3）化未知角为已知角；（4）化高次为低次（或平方升次去掉无理式）；（5）把特殊化归为一般（如把正弦函数的图象逐步化归为函数简图；把已知三角函数值锕特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等）．经典例题剖析考点一：三角函数图象和性质考点解析66/66\n三角函数的图象和性质在高考中主要考察三角函数的性质、图象及其变换；主要题型有考察函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、解析式、图象的变换及“五点法”作图等，且主要以选择题、填空题形式出现，在解答题中一般考察一个题，属于中档偏易题．此类题一般要通过变形，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，降低三角函数的次数等得出所熟悉的正弦型函数y＝Asin(ωx＋Φ)(或余弦型函数y＝Acos(ωx＋Φ)或正切型函数y＝Atan(ωx＋Φ))，再根据根本函数y＝sinx(或y＝cosx或y＝tanxr.)的相关性质进展求解．应对策略：1.对于三角函数的图象与性质要从根本上去理解和掌握，要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，同时要能利用函数的性质来描绘函数的图象；2.三角函数的图象进展变换时，一定要分析清楚平移变换与周期变换的先后顺序，然后再确定函数图象平移的单位，从而完成图象的变换，同时要熟练掌握“五点法”作图；3.根据函数的图象求三角函数的解析式时，要注意观察函数的图象，明确周期是多少，最高点、最低点、零点及其它已知点，进而确定函数的解析式；4.求解三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性问题，一般都要经过三角恒等变换，转化为y＝Asin(ωx＋Φ)型等，然后根据根本函数y＝sinx等相关的性质进展求解；命题展望：三角函数的图象是高考的热点之一，常重点考察已知函数图象求解析式，函数的图象变换及对称问题，或利用图象解应用题等，各种题型都有，属中等题；三角函数的单调性、奇偶性、周期性等在高考中出现的频率较高，它仍将今后高考命题的热点.1．三角函数的周期性问题66/66\n例1(山东省聊城市2022—2022学年度第一学期高三期末统考)已知函数求函数的最小正周期。解：（1）……………………3分∴函数的最小正周期是。评析：三角函数的周期是三角函数的一个重要性质，也是高考热点之一．求周期的几种常用方法主要有：(1)公式法主要利用以下两个结论：函数，的最小正周期为，的最小正周期为；和的周期都为（即取绝对值后周期减半），的周期为（即取绝对值后周期不变）．例2．(浙江省余姚中学08-09学年上学期高三第三次质量检测)已知函数（）的最小正周期为，求的值．解：．因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．评析：此题尽管不是直接求周期，但是根据周期与关系，还是涉及到如何求周期．(2)图象法：66/66\n对于一些无法用公式法判定周期的题目，如果其图象容易作出，我们可通过观察图象得出其周期．例3．设函数，那么函数的周期为_______．解：函数实质上是一个分段函数，分段函数的周期问题我们比较陌生，为了能直观地反映函数的特性，我们作出它的图象，如右图所示，根据图象很容易得到它的周期为．(3)定义法在上述方法都不能奏效时，我们可以考虑化归到周期函数的定义去求周期．如：例4．试求出函数的一个正周期___．解：因为此题涉及到正、余弦函数，我们求周期时考虑等几个特殊角，发现只有满足，所以最小正周期为．评析：通过证明我们知道是函数的最小正周期．可以根据定义证明，也可以化简表达式，作出图象，由图象得出．化简过程要用到第三章的一个公式，同学们可以探讨一下．(4)特征图形法如果已知正、余弦函数及正切函数图象上的一些特征点（线）之间的距离，也可以求出周期．例5．设点是函数的图象的一个对称中心，假设点到图象的对称轴的距离的最小值是，那么的最小正周期是_______．66/66\n解：由的图象性质可得，对称中心和对称轴距离的最小值为个周期，故的最小正周期是．关于周期函数定义的几点说明：（1）等式是定义域内的恒等式，即对定义域内每一个x值都成立．假设只是存在个别x满足等式成立的常数不是周期．如，但不是的周期；（2）常数是对自变量x加的常数，如满足的不是函数的周期，因，所以才是函数的周期；（3）并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如常数函数，，对定义中每一个x值都有非零常数使成立．可以是任意不为零的实数，所以没有最小正周期；（4）周期函数的周期不只一个．为周期，也是周期，为非零的整数；（5）在周期函数中，是周期，假设x是定义域内的一个值，那么也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集；(6)周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值．因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2kπ(k∈Z，k≠0)是y=sinx的周期，最小正周期是2π．同理2kπ(k∈Z，k≠0)是y=cosx的周期，最小正周期是2π．因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以kπ(k∈Z，k≠0)是y=tanx的周期，最小正周期是π．同理kπ(k∈Z，k≠0)是y=cotx的周期，最小正周期是π．三角函数的周期性在三角函数性质中的作用：①函数的递增或递减区间周期性的出现，每一个三角函数，都有无数个递增或递减区间，这些递增区间互不连接，递减区间也互不连接；②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化；③因为三角函数是周期函数，所以画三角函数图象时，只须画一个周期的图象即可．66/66\n2．三角函数的单调性问题例6．(安徽省皖南八校2022届高三第三次联考)设函数，其中向量，,求函数的最小正周期和在上的单调递增区间．解：（1）===，由函数的最小正周期.由（Z）得∴在上的单调递增区间是、.评析：求函数的单调区间时可借助复合函数与的单调性确定，当然这类问题一般先将x的系数化为正值再进展分析为宜．函数，在开区间内单调递增，但在其定义域内不是单调递增的；正切曲线不是轴对称图形，其没有对称轴．此类问题主要考察三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．特别要注意：①在求单调区间时，要注意利用诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数的性质等根底知识，考察根本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数；②在求的单调区间时还应注意的正、负，同学们可以自己求一下的单调递减区间，并与本例所求得的区间比照一下．66/66\n3．三角函数的奇偶性问题例7．(山东省潍坊市2022年5月高三教学质量检测)已知函数（1）假设函数的最小正周期为2π，求ω的值；（2）在（1）的条件下，假设函数是偶函数，求θ的值.解：（1）由题知（2）由（1）的条件下由得的图象的对称轴是那么，又评析：因为函数y＝sin(x＋Φ)是R上的偶函数，所以其图象关于y轴对称，由正弦函数的对称性可求解．我们容易得到如下结论：①函数y=sin(x＋φ)是奇函数；②函数y=sin(x＋φ)是偶函数；③函数y=cos(x＋φ)是奇函数；④函数y=cos(x＋φ)是偶函数．4．三角函数的对称性问题例8．(山东省泰安市2022年高三11月教学质量检测)已知函数66/66\n是R上的奇函数，其图象关于直线对称，并且在区间上是增函数，求与的值．解：，由于f(x)为奇函数，，即对都成立取x=0得，又，，又的图象关于对称，，，又∵在区间上单增，且，，，，．评析：函数y=Asin(ωx+)（A，ω>0）的性质对称性：关于点（，0）成中心对称，关于直线x=轴对称当=kπ+时是偶函数，当=kπ时是奇函数．5．三角函数的最值问题求函数的最值是高中数学中的重要内容，而三角函数的值域和最值是三角函数根底知识的综合应用，是三角函数中的重要性质之一，也是学习中的难点之一，三角函数的最值问题在近几年的高考题中经常出现.下面对三角函数的求最值问题略作归纳，供同学们借鉴．66/66\n(1)型特点是含有正弦或余弦函数，并且是一次式，函数种类仅有一种．解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为一次函数形式或利用三角函数的有界性．例9．已知的最大值为3，最小值为－１，求的值．分析：设，原题化为一次函数在闭区间上的最值问题．解：当时，由，当时，由，所以，．评析：此题的解法较多，除了代数函数最值的求法外，常见的有数形结合，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解，其中三角函数的有界性求解是最根本的求法．(2)型特点是含有正余弦函数，并且是一次式．解决此类问题的关键是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数一般的，可引进辅助角，化为，再利用正弦、余弦的有界性解之．例10．(宁夏银川一中2022届高三年级第三次模拟考试)设函数,66/66\n其中向量,,x∈R.求的值及函数的最大值.解：，，=·，=．又，函数的最大值为.当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.评析：解此题的关键是借助辅助公式化简式子，结合三角函数有界性求解，如果函数是条件函数，那么常常借助三角函数的图象来解题．(3)型特点是含有sinx,cosx的二次式，处理方式是可先降次，再整理化为上面的类型，再求的最值．例11．已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+m(mR)．假设x[0，]，且f(x)的最小值是2，求m的值．解：由已知得f(x)=1+cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1．当x[0,]时，2x+[，]，此时当2x+=时，f(x)的最小值是+m+1=2，∴m=2．评析：这类题目解决的思路是把问题化归为的形式，一般而言，，但假设附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决．66/66\n(4)形如型特点是一个分式，分子、分母分别有正、余弦的一次式．几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简，最后整理成这个形式，它的处理方式有多种，多半化归为型解或用数形结合法（常用直线斜率的几何意义）．例12．求函数的最值．解：函数可化为，所以，其中，因为，所以，解得：．因此，原函数的最大值为，最小值为0．评析：求形如（且）的最值通常利用辅助公式及利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最正确方法，虽然此题可以使用万能公式，也可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行，有兴趣的同学不妨试一试其他解法．(5)形如的形式例13．求函数的最大值与最小值．解：，当时，，当时，．评析：此题可利用别离分母的方法反解出，由正弦函数的有界性；或利用“局局部式”法求最值．(6)形如型66/66\n有时出现形如y=asin2x+bcosx+c型的函数，其实质同上面情况一样，特点是含有sinx,cosx，并且其中一个是二次，另一个是一次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解．设，先化为二次函数，再求其在闭区间上的最值．例14．求函数的值域．解：原式化为令，那么，由二次函数图象可知，当时，；当时，．(7)形如的形式例14．求的最小值．解：设，那么．从以以下图中可以看到在区间上是减函数（也可以利用函数的单调性定义或求导来证明这一结论）．当时，66/66\n评析：假设由，可得最小值是错误的，这是因为当等号成立时，，即是不可能的，假设把此题改为就可以用不等式法求解了，同学们不妨琢磨一下．(8)型函数含有sinx与cosx的和与积型的函数式，其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx进展转化，变成二次函数的问题，设化为二次函数在闭区间上的最值求之．例15．求函数的最值解：令，那么，原函数可化为，当时，；当时，．评析：这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系．是纽带，三者之间知其一，可求其二，令换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法来求函数的最值．(9)利用对偶式巧求最值例16．已知sinx+siny=1，求cosx+cosy的最大值．解：此题要用整体代换法．66/66\nt=cosx+cosy，于是我们有所以，又因为，故，那么所求最大值为．(10)形如y=sinxcos2x型的函数 它的特点是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式），几乎所有三角中类似的三次式的最值问题都用均值不等式来解或用导数求解，但需要注意是否符合应用的条件最主要的是等号否能取得． 例17．(南通四县市2022届高三联合考试)求函数f(x)=sin3xcosx的最大值．解：当sinxcosx＜0时，函数f(x)不可能取最大值．当sinxcosx＞0时，f2(x)=sin6xcos2x=27（）（）（）cos2x≤27=，f(x)的最大值是． 评析：此题的角和函数很难统一，并且还会出现次数太高的问题，但关键应该抓住cos2x+sin2x＝1．6．对三角函数图象的考察对三角函数图象的考察主要有三种题型：①考察三角函数的图象变换，解答关键是要分析清楚平移或伸缩的单位和倍数；②66/66\n根据图象写出解析式，一般通过图象的最高或最低点先求得函数的周期和振幅，再根据图象上的已知求得初相，进展可求得函数的解析式；③根据三角函数的解析式画出简图，作图时要正确确定其“五点法”作图中的“五点”的坐标.(1)求函数的解析式这类问题主要考察三角函数图象的性质以及识图的能力，关键是根据图象的位置求出相关参数A，，等．例18(山东省文登三中2022届高三第三次月考试题)将函数（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象如以下图．求平移后的图象所对应函数的解析式．解：将函数（ω＞0）的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以.∴所求解析式为．评析：此题是根据图象的特点得出解析式，这就要求同学们熟悉作三角函数图象的方法．作三角函数的图象有四种方法：（1）描点法：按照列表、描点、连线的顺序来作正、余弦和正切函数的图象；（2）几何法：利用单位圆中的正弦线、正切线作正弦函数和正切函数的图象；（3）图象变换法：可由66/66\n等根本的三角函数通过平移变换、伸缩变换得到相应函数的图象；（4）五点法和三点两线法：五点法作正弦函数的图象方法见课本；作正切函数的简图可用“三点两线法”，三点是，两线是和，作出三点两线，然后用光滑的曲线连结三点即可得到正切函数在上的图象，然后通过平移得到正切函数在整个定义域上的图象．例19．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解：（1）将，代入函数，因为，所以．由已知，且，得．（2）因为点，是的中点，．所以点的坐标为．又因为点在的图象上，且，所以，，从而得或，即或．评析：此题主要考察三角函数图象的性质以及识图的能力.解决此题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图象与66/66\n轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；此题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.(2)图象变换问题 三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言．例20．已知函数，．该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？解：．将函数依次作如下变换：（1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；66/66\n（4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象．综上得到函数的图象．评析：由的图象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即．如果先作伸缩变换，后作平移变换，那么左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度．在复习函数的图象时，要掌握由的图象经过平移、伸缩等一系列变换得到的图象的变换步骤：（1）相位变换：把的图象上所有点，向左或向右平移个单位得到的图象；（2）周期变换：把的各点的横坐标伸长或缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象；（3）振幅变换：把的图象上的各点的纵坐标伸长（缩短）为原来的倍，横坐标不变，即可得到函数的图象．在进展图象变换时，提倡先平移后压缩（伸展）．但先压缩（伸展）后平移也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”有多大变化，而不是“角”变化多少．常见的函数图像变换理论有：（1）函数y=f(－x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y轴对称；66/66\n（2）函数y=－f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于x轴对称；（3）函数x=f(y)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称；（4）函数x=－f(－y)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=－x对称；（5）函数y=－f(－x)的图像与函数y=f(x)的图像关于原点（0，0）对称；（6）函数y=f(x+p)(p>0)的图像是将函数y=f(x)的图像向左平移p个单位而得；（7）函数y=f(x－p)(p>0)的图像是将函数y=f(x)的图像向右平移p个单位而得；（8）函数y=f(x)+q的图像是将函数y=f(x)的图像向上或向下平移|q|个单位而得，当q>0时，向上，q<0时向下；（9）函数y=f(px)(p>0)的图像是将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）；（10）函数qy=f(x)(q>0)即y=f(x)的图像是将函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的（横坐标不变）．(3)求初相角求初相角是高中数学学习中的一个重要知识点，也是一个难点，涉及到求初相、相位、求三角函数解析式、分析图象性质、图象变化等题型，下面专门谈谈怎样求初相角．(A)反代法66/66\n例21．函数y＝sin(x＋)(0≤x≤)是R上的偶函数，那么＝() (A)0(B)(C)(D)解：把＝0，，，分别代入原函数验证，可知仅当＝时为偶函数，应选(C)．评析：一般的，如果题目是选择题，可用反代法的思路将选择枝代入检验，这可以大大节约时间，提高命中率．（B）巧用图象与函数式之间的联系速求初相角例22．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)的图象(其中｜｜＜)，那么Aω＝，＝；Bω＝，＝－；Cω＝2，＝；Dω＝2，＝－．解：观察各选择答案可知，应有ω＞0，观察图象可看出，应有T＝＜2π，∴ω＞1，故可排除A与B，由图象还可看出，函数y＝2sin(ωx＋)的图象是由函数y＝2sinωx的图象向左移而得到的，∴＞0，又可排除D，应选C评析：在求解此题时，可充分利用图象与函数式之间的联系，也可用排除法来巧妙求解．在高考中主要考察已知函数图象或已知函数的性质求解析式，关键在于求A，，等三个量，反过来已知解析式可以画出其图象．别解：由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝．又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，应选C例23．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π66/66\n)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16，∴ω＝＝，又A＝，∴y＝sin(x＋)把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·，∴sin(＋)＝1，而0＜＜2π，∴＝，所求解析式为：y＝sin(x＋)．评析：待定初相位时，既要思考过点，又要思考点所在的单调区间或五点中按序的第几个点，整体变量解出初相位．（C）利用最值思想巧求初相角例24．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜）在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式．解：由题意A＝2，＝－，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴y＝2sin(2x＋)，又x＝时y＝2，∴2＝2sin(2×＋)，∴＋＝，∴＝∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)．评析：由y＝Asin(ωx＋φ)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求．（D）利用函数的奇偶性探求初相角例25．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间［0，］上是单调函数，求φ的值．分析：抓住函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，且有f（－x）=f（x），这点是解决此题的关键．解：由f（x）是偶函数，得f（－x）=f（x）．即sin（－ωx+φ）=sin（ωx+φ），66/66\n∴－cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以得φ=．评析：函数的奇偶性是指判断y＝Asin(x＋)型的奇偶性，或已知奇偶性求参数．对于f(x)＝Asin(x＋)(≠0)，当＝k(k∈Z)，那么函数f(x)为奇函数；当＝k＋(k∈Z)，那么函数f(x)为偶函数；否那么一定是非奇非偶函数．本小题考察三角函数的图象和单调性、奇偶性等根本知识，以及分析问题和推理计算能力．（E）由函数的对称性巧求初相例26．设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间．解：（Ⅰ）的图像的对称轴， （Ⅱ）略．评析：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线，其对称轴与x轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x值．此题主要考察三角函数性质及图像的根本知识，考察推理和运算能力． （F）由函数的单调性巧求初相例27．如图，它是函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0)，｜｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式．解：∵点(π，0)在递减的那段曲线上，∴＋∈［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)，由sin(＋)＝0得＋＝2kπ＋π，∴＝2kπ＋(k∈Z)，∵｜｜＜π，∴＝．（G）起始点法66/66\n例28．题目见上面例7．解：函数y＝Asin(ωx＋)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx+=0解得的，故只要找出起始点横坐标x0,就可以迅速求得角.由图象求得x0=-，∴=-ωx0=-(-)=.评析：由ωx+=0求初相如果代错了点，很有可能得到错误的结论．（H）平移法例29．题目见上例7．解：由图象知，将y=5sin(x)的图象沿x轴向左平移个单位，就得到此题图象，故所求函数为y＝5sin(x＋)，即y＝5sin(x＋)．评析：在高考中对于图象的平移要引起重视，这是高考中一个重要知识点．（I）借用辅助角将f(x)化为的形式得到初相角例30．已知函数．求的初相角．解：．故的初相为．评析：一般来说，将其它形式的题转化成y＝Asin(ωx＋)的形式，如对所求函数式中的A、ω、不加限制(如A、ω的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中．7．三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考察的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍三角函数式的化简的一般要求：①函数名称尽可能少；②项数尽可能少；③尽可能不含根式；④次数尽可能低、尽可能求出值．66/66\n化简的根本类型：根式形式的三角函数式化简、多项式形式的三角函数式化简、分式形式的三角函数式化简．化简根本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化．求值问题的根本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进展求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④求函数式的最值或值域；⑤化简求值．技巧与方法①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式，②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法④求最值问题，常用配方法、换元法来解决三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体构造，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的根底，是恰当寻找解题思维起点的关键所在． 例31．化简(1)tan20°＋4sin20°66/66\n解：=sin(48°－30°)＋2sin218°=sin18°＋1－cos36°=sin18°－sin54°＋1 66/66\n 评析：从此题中可以看出：随时分析题目中角的相互关系，是化简的关键．在(1)中，40°＋20°=60°，而60°又是特殊角；(2)中36°与例32．点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，那么Q点的坐标为（）（A）（B）（C）（D）解：记，由三角函数定义可知Q点的坐标满足，应选（A）．评析：三角函数定义是三角函数理论的根底，理解掌握能起到事半功倍的效果．有时用三角函数定义去证明恒等式能起到意想不到的效果．例33．化简，α∈（π，2π）．解：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式∵∴原式=，∵α∈（π，2π），∴，∴，当时，，∴原式=，当时，∴原式=，∴原式=66/66\n评析：1．此题利用了“1”的逆代技巧，即化1为，是欲擒故纵原那么．一般地有，，；2．三角函数式asinx+bcosx是根本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为（取）是常用变形手段，特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±cosx，要熟练掌握变形结论．例34(2022年泉州一中高中毕业班适应性练习)已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<，(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β．解：（Ⅰ）由，，得．∴，于是．（Ⅱ）由，得．又∵，∴．由得：，∴．评析：此题考察三角恒等变形的主要根本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进展角的变换利用三角公式进展求值即可．66/66\n例35(山东省文登三中2022届高三第三次月考试题)(1)已知，求的值；(2)已知，求函数的值域．解：由题可得；法二：由题，故，从而；法三：由题，解得，故，从而。(2)，令，那么，在单调递减，故，从而的值域为。评析：此题从角度考虑问题，关键在于如何变角．8．三角函数变换的方法与技巧所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．从近几年的高考考察的方向来看，这局部的高考题以选择、解答题出现的时机较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的根本问题．下面举例说明：(A)角的变换66/66\n例36．（2022天津理）已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.解：（Ⅰ）因为，所以，于是（Ⅱ）因为，故，所以评析：在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．常见角的变换方式有：；；；等等．(B)公式的变换例37．在ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值．解：在ABC中，A、B、C成等差数列，那么B=60，于是A+B=120，所以原式=66/66\n==评析：有关正切的恒等式的证明与求值通常要用到两角和与差的正切公式的变形式：．(C)函数名的变换例38．当时，函数的最小值是（ ）．A． B．C． D．解：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进展求解．因为，所以，所以．应选（A）．评析：三角变形中，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，常常需要变不同名函数为同名函数，通常是化切、割为弦，变异名为同名．(D)次数的变换例39．(2022广东)已知函数，那么是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数解：，选D．66/66\n评析：次数的变换是指对倍角公式的变形使用．降次公式：，；升幂公式：，．(E)常数变换例40．已知，求的值．解：由已知要求得：，将的分母“1”视为“”，于是：=====评析：有时常把常数变换为三角函数式，如=tan60o，=sin60o=cos30o，特别是“1”的代换，在三角函数中，“1”的代换有：，，1=，，=1，，等，在具体的三角变换过程中，将“1”作某种适宜的变形，往往能收到意想不到的效果．(F)引入辅助角例41．求y＝5cos2x－6sin2x＋20sinx－30cosx＋7的最大值和最小值．解：y＝(9cos2x－12sinxcosx＋4sin2x)＋20sinx－30cosx＋3＝（3cosx－2sinx）2＋10（2sinx－3cosx）＋3＝（3cosx－2sinx－5）2－22＝（2sinx－3cosx＋５）2－22＝［sin(x－φ)＋5］2－22，其中tanφ＝.当sin（x－φ）＝1时，ymax＝（＋5）2－22＝16＋1066/66\n当sin（x－φ）＝1时，ymin＝（－＋5）2＝16－10评析：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，利用三角函数的有界性求解．(H)式子构造的变换例42．化简．解：所以．评析：此题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式．在三角变换中，常常对条件、结论的构造施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等．(I)利用换元思想进展三角变换例43．已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值、最小值．解：设t=sinθ-cosθ=sin(θ﹣),∴2sinθcosθ=1-t2,∴y=﹣t2+t+1=-(t﹣)2+,又∵t=sin(θ﹣),0≤θ≤π,∴-≤θ﹣≤,∴-1≤sin(θ﹣)≤,即-1≤t≤，当t=时，ymax=,当t=-1时，ymin=-1.评析：在某些三角函数中，将局部上的三角式看成一个整体，视为一个元，作整体换元，再将其余局部三角式用该元来表示，到达在代数中得到统一，然后利用相关的代数知识，那么问题可得到顺利的解决．9．三角恒等式的证明66/66\n三角恒等式的证明有三角恒等式无条件证明和三角条件等式的证明对三角恒等式的证明要注意的是：1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端构造上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）；2．证三角恒等式的根本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、构造上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一；对于高次幂，往往采用三角公式降次，再依求证式的要求论证．3．证明三角恒等式的根本方法有：⑴化繁为简；⑵左右归一；⑶变更问题．对三角条件等式的证明要注意的是：1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明；⑵综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法；⑶消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数到达证明等式的方法；⑷分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．(A)切割化弦“切割化弦”是三角变换中“化复杂为简单”的一种典型技巧．而“弦化切”给人感觉是越化越繁，故很少用．其实不然，在解决关于正余弦的齐次问题时，“弦化切”是解决此类题的常用方法，它特点是将函数名称“化多为少”．66/66\n例44．证明：分析先考虑从复杂的左边入手进展变形，并采用切割化弦法推证。证：左边==右边等式成立.评析：三角恒等变形中的每一步，都要观察和分析式子的特征，从而选择下一步的变形方法，这是证明这类问题大家感觉因难的原因，因此要熟练掌握一些根本的三角变形方法，如“切割化弦”“分解因式”“配方法”等一起使用．(B)化繁为简法化繁为简法是三角恒等式证明的最根本的证明方法，也称为单向推证法，其根本思路是：根据恒等式特征，选择等式的一边（一般是等式较为复杂的一边）进展化简，直接推证出另一边．例45．证明：．分析：从左式入手，通分，再利用平方差公式，逆用和角公式，最后应用诱导公式，倍角化简到右边．证明：左式=66/66\n右边(C)借助方程思想证明等式 有关角度等式的证明问题，可以借助方程思想把其转化为已知三角函数值求角的问题 例46．假设为锐角，且，，求证：． 分析：由条件等式证明“角＋角=角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题． 证明：已知两个等式可化为， ①②，由①②得：，即， ． ，，． ．评析：要证明两角相等，仅证明两个角的同名三角函数值相等是不够的，还必须要证明它们在同一单调区间内．66/66\n(D)借助由柯西不等式例47．已知：、，且，试证明：．证明：由柯西不等式，有：＝＝即有：由题设及柯西不等式取等号的条件，得： 即 ∴，∴ 即．评析：利用不等式等号成立的条件来证明三角函数式也是常见的一种策略．此法的根本思想是：先根据根本不等式推得一个新不等式，且该不等式两边恰是已知等式两边，然后由根本不等式取等号的条件而使问题获得解决．(E)“左右归一”左右归一法也是三角恒等式证明中常用证明方法，其特点是：左右两边的式子相似或相对较复杂，考虑将两边同时推出一个相同式子，从而间接地证明等式成立．例48．求证：分析：观察恒等式，左右式子形式上较上相近，考虑两边同时化简证得同一式子．证明：左边右边66/66\n左边右边，故等式成立． 评析：化繁为简是根本的入手方法,但我们化到右边时,要向右边转化感到困难,此时可以从另一边出发采用左右归一的方法才是此题的根本思路．(F)“作差法”证明等式成立，常转化成证成立,即称作为“作差法”例49．求证：分析：等式两边同样复杂,但左右很难闻归一,发现等式两边都有、和，通过、和的内在联系，考虑将右边移到左边，通过左边—右边=0求证．证明：左边—右边，左边=右边．评析：转化思想是重要的数学思想方法,具有转化化归意识是提高数学解题能力的关键．10．有关三角形中的问题考纲要求：1．正弦函数定理、余弦函数定理，并能运用正弦定理、余弦定理解斜三角形；2．解三角形是三角知识直接联系实际的重要途径，也是高考试题的一个重要内容．要正确运用好正弦定理、余弦定理，还要注意对题目中隐藏条件的挖掘．66/66\n三角形的面积公式：（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB．（3）△＝＝＝．（4）△＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）（5）△＝．（6）△＝；．（7）△＝r·s．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a．（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2．（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tgA＝ctgB＝，ctgA＝tgB＝．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边．（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π．（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．，（R为外接圆半径），变形形式为a=2RsinA，．（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形形式有：，．66/66\n正弦定理、余弦定理沟通了角与边之间的关系，可使角与边相互转化，方便了解题与证明等．（4）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，b＝a·cosC＋c·cosA，c＝a·cosB＋c·cosA．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：假设给出的三角形是直角三角形，那么称为解直角三角形；假设给出的三角形是斜三角形，那么称为解斜三角形．解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．（1）角与角关系：A+B+C=π，（2）边与边关系：a+b>c，b+c>a，c+a>b，a－b<c，b－c<a，c－a>b．（3）边与角关系：解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b．（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=π，求另一角．（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=π，求角C．三角形中的三角变换，还要注意三角形自身的特点：66/66\n(1)角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC．(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．r为三角形内切圆半径，p为周长之半．在非直角△ABC中，tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC．(4)在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°．△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列． 例50．(福建德化一中2022年秋季高三第二次质量监控考试)在中，为角所对的三边，已知，求角．解：（1）由得：，又评析：余弦定理适用于以下两种情况：（1）已知两条边和它们的夹角，求其他元素；（2）已知三边，求三角．例51．(福建省八闽高中2022年教学协作联考)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边长分别为，假设向量与共线.（判断△ABC的形状．解：m与n共线，，由正弦定理，得∵A、B为三角形的内角，∴A=B，∴△ABC为等腰三角形.66/66\n评析：正弦定理适用于以下两种情况：（1）已知两条边和其中一边的对角，求其他元素；（2）已知两个角和一条边，求其他元素。注意：在解此问题时要讨论有两解、一解和无解这三种情况：①当为锐角，且时，无解；时，一解；时，两解；时，一解；②当为直角或钝角时：，无解；，一解．例52．(广东省深圳中学2022—2022学年度高三第一学段考试)在停机坪A处的南偏西20°方向有一某观察站C.有一天，观察站C发现在A处的南偏东40°方向与C距离31千米的B处有一龙卷风正以10千米/分钟的速度向A处袭来，便立刻向A发出警报，2分钟后C测得龙卷风到达AB连线上与C相距21千米的D处（如图），假设C发出警报后A处飞机要经3分钟才能飞离A地，问龙卷风到达A处时，A处飞机能否飞离A地？解：设AD=x，AC=y，①而在△ABC中，即②②—①得，代入①得，得，即龙卷风由D到A至少须经1.5分钟才能到达A处，即发出警报后龙卷风至少要经过3.5分钟才能到达A处，故当龙卷风到达A处时飞机能飞离A地．评析：此题主要考察三角形根底知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力66/66\n此题考察余弦定理应用及应用所学知识解决实际问题的能力，主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.解三角形应按照由易到难的顺序来求解，选用边角时尽量防止复杂运算，有时需要对一些复杂图形特殊处理，平面几何知识“功不可没”．解三角函数应用问题的根本步骤：第一步，阅读理解，审清题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解表达所反映的实际背景，在此根底上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．第二步，搜集整理数据，建立数学模型．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此根底上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果．第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．11．三角与其它知识的交汇三角函数是高中数学的一局部，它与其他数学知识之间有着广泛而又密切的联系．认真分析和运用这些联系，注意三角函数问题与其他数学知识之间的联系和相互转化，可以提高分析问题、解决问题的能力．(A)向量三角函数的交汇例53．（2022湖北理）已知的面积为，且满足0≤≤，66/66\n设和的夹角为．（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值．解：（Ⅰ）设中角的对边分别为，那么由，，可得，．（Ⅱ）．，，．即当时，；当时，．评析：此题主要考察平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等根本知识，考察推理和运算能力．利用单位圆研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线就是平面向量，其中利用平面向量证明余弦定理应该是向量在三角应用中的一个最有说服力的例子．利用向量还可以证明三角恒等式、求三角的最值问题以及在三角求值中的应用．以平面向量为载体，与三角函数的穿插与综合，是高考命题的一个新的考点．(B)三角函数与方程的交汇例54．试求方程80sinx=x的实根的个数以及有实根的和． 66/66\n 25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当－26π＜x＜26π时，两个图象共有2×25＋1=51个交点，即方程80sinx=x共有51个实根，由于这些实根关于原点的对称性，可知这51个实根之和为零． 评析：通过这个例题，充分展示了运用数形结合的方法解决函数类习题的优越性．此题运用对函数图象的分析，使问题的解决直观而简明．(C)三角与不等式的交汇例55(福建德化一中2022年秋季高三第二次质量监控考试)已知对一切实数都有，且当＞时，＜（1）证明为奇函数且是上的减函数；（2）假设关于的不等式66/66\n对一切恒成立，求m的取值范围；（3）如果，，记数列的前n项和分别为，求证．证明：（1）依题意取，∴．又取可得，∴由x的任意性可知为奇函数，又设∴∵，∴，∴在R上减函数（2）∵函数是奇函数，∴由得∴即．又∵是上的减函数，∴恒成立当时，，故此时的最小值为，∴（3）∵，∴又，∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴，要证明不等式，即是证明也就是证明66/66\n由柯西不等式得要使不等式取得等号，当且仅当，而这是不可能成立的。∴当时，，即．评析：此题以函数为载体，如何利用函数的单调性将题目转化为求三角最值问题是解题的关键．(D)三角与概率的交汇例56(福建德化一中2022年秋季高三第二次质量监控考试)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：.（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进展逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，假设取到一张记有偶函数的卡片那么停顿抽取，否那么继续进展，求抽取次数的分布列和数学期望．解：（Ⅰ）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知. （Ⅱ）ξ可取1，2，3，4， 故ξ的分布列为ξ1234P．答：ξ的数学期望为．66/66\n评析：此题将概率与三角结合起来比较少见，关键在于判断三角函数的奇偶性．(E)三角函数与数列例57．已知α为第二象限角，化简：解：由得：因为α为第二象限角，所以构造等比数列，那么（q为公比）设，那么．评析：此题尽管从外表上看与数列没有关系，但是利用三角公式构造数列却出其不意，是一个好方法．实际上也有一些题目是三角函数与数列知识相结合，这要具体问题具体分析．(F)三角函数与简易逻辑例58．（2022年高考重庆卷）已知、均为锐角，假设p:,q:，那么p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：充分性或必要性成立，都须证明，而不成立的只须举出反例即可，此题充分性不成立，如当时，有，但；证必要性：∵、都是锐角，∴，∵，∴，∴66/66\n综合上述可得，p是q的必要而不充分条件，应选择B．评析：解决此题的关键在于正确理解充要条件的有关概念．三角函数学法点拨：1、处理好“一般”与“特殊”的关系，用一般函数理论指导和研究三角函数问题，正确理解和熟练掌握三角函数的图象与性质。这局部的考题大多都来源于教材，无论怎样变化，难度都不会太大，只需“立足课本，落实三基”，加强训练，综合运用能力就会提高，复习中不必引入难度过高、计算量过大或技巧性过强的题目，以防止增加不必要法负担．2、解决好一个“变”字，在全面掌握三角公式的根底上，以变角、变函数名称、变函数或公式构造为主线，不断的缩小差异以到达沟通条件和结论、衔接已知与未知的目的，对三角的证明题，要求同学们在熟练掌握根底知识的根底上，还要强化逻辑推理的训练，要把握角的变换、三角函数次数的变换等，复习时要能够归类、总结，从而提高应变能力。有关三角不等式的证明是历年同学们的弱点，应引起足够的重视．3、求函数问题和最值问题是高考试卷中出现频率较高的内容之一，这类考题通常是先对式子变形再用公式计算，在求三角函数的最值时，不可无视特殊的三角函数的条件限制，还应掌握三角函数最值的常见求法．4、要加强对应用题的针对性训练，而且开放性应用试题已成为高考命题的重点和热点题型，应予足够重视． 三角函数单元测试题一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．66/66\n1．已知函数f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x－)，那么以下结论中正确的选项是（）A．函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2 B．函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C．将函数y=f(x)的图象向左平移单位后得g(x)的图象D．将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象2．函数的局部图象是（）：3．已知为锐角，且，那么有（）A．B．C．D．4．函数f(x)=cos2x+sin(+x)是()A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数5．假设，那么的值为（）A1B2C-1D-26．设那么有（）A．B.C.D.7．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)其中｜｜＜的图象，那么（ ）66/66\nAω＝，＝ Bω＝，＝－Cω＝2，＝ Dω＝2，＝－8．假设，,，那么的值等于（A）（B）（C）（D）9．假设，那么的值为（）A.0B.1C.D.—110．要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上．11．假设方程在[0,]上有两个不同的实数解，那么的取值范围为________________．12．设ω＞0，假设函数f(x)=2sinωx在［－，］上单调递增，那么ω的取值范围是________________．13．y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为__________________．14．方程sinx＋cosx=m在[0，]上有两个解，那么实数m的取值范围为__________________．-4-3-2-10123415．函数的定义域，图象如右图，那么66/66\n不等式的解集为_____________．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）已知f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R,a为常数)，(Ⅰ)假设x∈R，求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)假设x∈[0,]时f(x)的最大值为4，求a的值，并指出此时f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到．17．（本小题总分值12分）已知f（x）=5°·x+20°，g（x）=6°·x+30°是否存在整数T，使得对于任意的x的值，都有f（x+T）与f（x）、g（x+T）与g（x）均表示终边相同的角？假设存在，求出T的值；假设不存在，请说明理由．18．（本小题总分值12分）（山东省郓城一中2022-2022学年第一学期高三期末考试）已知中，角A，B，C，所对的边分别是，且，（1）求，（2）假设，求面积的最大值．19．（本小题总分值12分）已知函数（，且均为常数），（1）求函数的最小正周期；（2）是否存在常数使得在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2就是f(x)在R上的最值，假设存在，试求的值，假设不存在请说明理由．66/66\n20．（本小题总分值12分）是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？假设存在，求出对应的a值；假设不存在，试说明理由．21．（本小题总分值15分）(1)已知tan（．(2)化简sinsin＋coscos－cos2cos2．(3)已知，，，，求sin(a+b)的值．参考答案D．D．C．D．B．D．C．B．D．Ｄ．1．解：f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x－)2．解：显然3．解：，代入条件，得.又，函数在上递增，，即.应选C．4．解：f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1．答案：D5．解:.而由得:故.答案选B．66/66\n6．解：>>>．选D．7．由图可知，点(0，1)和点(，0)都是图象上的点将点(0，1)的坐标代入待定的函数式中，得2sin＝1，即sin＝，又｜｜＜，∴＝，又由“五点法”作图可知，点(，0)是“第五点”，所以ωx＋＝2π，即ω·π＋＝2π，解之得ω＝2，应选C．8．由，那么，，又，，所以，,解得，所以＝，应选B．9．有界性和公式应用选D；由于sinα、sinβ∈［－1，1］仅当sinα＝sinβ＝±1时，sinα、sinβ才有可能等于1，这时α、β的终边一定同时落在ｙ轴的正半轴或负半轴上，此时cosα＝0，cosβ＝0，故cosα·cosβ＝0.10．解：，由变换到，只需将图象向右平移个单位，应选D．11．解：原方程可化为，由的图象()可知，∈（－2，1）∪（1，2）时，方程在[0,]上有两个不同实根．12．解：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得13．令sinx－cosx＝t，那么sinxcosx＝，66/66\n因为t＝所以t又因为y＝t＋＝－所以当t＝－1时，y，当t＝－时，y．yxO－y=14．方程可化为=sin(x＋)，根据此方程对应的图象可知，y=sin(x＋)，y=在同一坐标系中有两个不同的交点，满足≤＜1，即≤m＜2为所求．15．[-4,-)16．解:(Ⅰ)f(x)=2cos2x+sin2x+a=cos2x+sin2x+a+1=2sin(2x+)+a+1,….4分∴f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+]k∈Z.……..2分(Ⅱ)∵x∈[0,]时，f(x)的最大值为4，∴≤2x+≤．f(x)MAX=2+a+1=4．∴a=1．∴f(x)=2sin(2x+)+2．……2分将y=sinx图象上任一点的横坐标缩小为原来的倍(纵坐标不变)得到y=sin2x的图象，再将y=sin2x图象向右平移个单位得到y=sin(2x+)的图象，再将所得图象上任一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到y=2sin(2x+)的图象，再将所得图象向上平移2个单位得到f(x)=2sin(2x+)+2的图象．……4分说明：本小题主要考察三角函数的根本公式、三角恒等变换、三角函数的性质等根本知识，以及推理和运算能力．17．解：∵f（x+T）=5°（x+T）+20°=f（x）+5°·T，假设f（x+T）与f（x）表示终边相同的角，那么5°·T=k·360°（k∈Z），....6分66/66\n∴T=72k1（k1∈Z）.同理，有T=60k2（k2∈Z）.....3分∴T是72与60的公倍数，即T=360k（k∈Z）.故存在这样的整数T=360k（k∈Z）.18．解：（Ⅰ）（Ⅱ）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为．19．（1）（其中由下面的两式所确定：）所以，函数的最小正周期为．….6分（2）由（1）可知：的最小值为，所以，．另外，由在区间上单调递增，可知：在区间上的最小值为，所以，=．解之得：…….6分说明：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点．三角函数的值域经常与二次函数等其它问题综合，考察函数在确定区间上的最值．66/66\n综合上述知，存在符合题设.………1分21．每题5分．另外每一小题要按步打分．(1)分析：由已知易得tana得值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正余弦函数，且分子是常数1，可将1化为sin再利用同角三角函数关系式将所求式转化成正切函数来解决．解：由tan（，得tana＝．……2分于是．….3分(2)分析一：从“角”入手，复角化单角利用“升幂公式”．解一：sinsin＋coscos－cos2cos2=sinsin＋coscos－(2cos－1)(2cos－1)66/66\n=sinsin＋coscos－(4coscos－2cos－2cos＋1)=sinsin－coscos＋cos＋cos－=sinsin－cos(1－sin)＋cos＋cos－=sinsin＋cossin＋cos－=sin(sin＋cos)＋cos－=sin＋cos－=1－=．分析二：从“名”入手，“异名化同名”解法二：sinsin＋coscos －cos2cos2=sinsin＋(1－sin)·cos－cos2sin2=cos－sin(cos＋sin)－cos2cos2=cos－sincos2－cos2cos2=cos－cos2(sin＋cos2)=(1＋cos2)－cos2(＋cos2)=．(3)∵，∴，又，∴….1分∵，∴，又，∴…1分∴sin(a+b)=-sin[p+(a+b)]=……..2分．……1分补充题1．(山东省济宁市2022届高三11月教学质量检测)在中，角的对边分别是，且为锐角，66/66\n求的最小值；解：是锐角，，当时，．2．山东省淄博市2022年5月高三模拟试题已知函数的一系列对应值如下表：（Ⅰ）根据表格提供的数据求函数的解析式；（Ⅱ）假设对任意的实数，函数（），的图像与直线有且仅有两个不同的交点，求的值．解：（Ⅰ）依题意， ∴ 又 ，解得 ，解得 ∴ 为所求.（II）由，得∵ ，∴ ∴ 或，即为所求.3．（宁夏区银川一中2022届高三年级第五次月考测试）66/66\n在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（cosA,sinA），=，假设|+|=2，求角A的大小．解：|m+n|2=…………3分∴∴∵∴评析：主要考察平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的根本技能，着重考察数学运算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．4．（安徽省皖南八校2022届高三第三次联考）设函数，其中向量，．(1)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；(2)当时，的最大值为4，求实数的值．解：（1）===…………………………………3分由函数的最小正周期.………………………………………………4分由（Z）得…………………6分66/66\n∴在上的单调递增区间是、.…………………………8分（2）时，，或（由①知在上是增函数）…9分∴，，取最大值…………………………………11分由=1的.…5．已知，那么等于A．B．C．D．解：A，.6．定义：设函数的定义域为R，假设存在正常数，使得对一切实数均成立，那么称为函数．给出以下函数：①，②，③，④其中是函数的有A．1个B．2个C．3个D．4个解：B①当时，由，即，即，那么不存在；66/66\n②时，，即，又，故存在常数，使对一切实数均成立.③时，取，那么，而，与矛盾，故不存在；④时，当时，，，当时，，故存在M=2,使得对一切实数均成立.综上所述，②④是函数.高考资源网66/66
