高考理科数学4月月考试题数学试题(理科)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上．）1．设集合，，若，则a的值为A．4B．－2C．4或－2D．－4或22．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是A．B．C．D．3．设、是两个不共线的向量，向量+λ与－(－2)共线的充要条件是λ等于A．0B．－1C．－2D．4．等比数列是递增数列，其前n项的积为Tn，若T13=4T9，则a7·a16=A．2B．±2C．4D．±45．下面四个命题：①过空间一点有且仅有一条直线与两条异面直线都相交；②与三条两两异面的直线都相交的直线有无数条；③直线a、b异面，过a有且只有一个平面与b平行；④直线a、b异面，过a有且只有一个平面与b垂直．其中正确命题的序号是A．①② B．②③ C．③④ D．②④6．在△ABC中，sinA=，cosB=，则cosC=A．B．C．D．7．已知，则使(1－aix)2<1(=1，2，3)都成立的x的取值范围是A．B．C．D．8．要从10名女生和5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层抽样，则能组成课外兴趣小组的概率是A．B．C．D．9/9\n9．双曲线的一条渐近线与直线2x+y+t=0垂直，则双曲线的离心率为A．B．C．D．10．某地区对一次高三诊断性考试进行抽样分析：考生成绩符合正态分布N，且“语、数、外、综”总分平均分为450分，标准差为120．由以往各年的高考情况可知该地区一本上线率约为20%，可划出该地区这次诊断考试的模拟一本分数线约为（参考数据：）A．450B．535C．570D．55211．若直线过点M(cosθ,sinθ)，则A．B．C．D．12．十进制“逢10进一”，二进制“逢2进一”，十六进制“逢16进一”.十进制用0，1，2……9这十个数字记数；二进制只需0，1两个数字记数；“十六进制”则需用0，1，2，3……9，A，B，C，D，E、F（从小到大）这十六个数字或表示数的字母记数．如：二进制数(110101)2化为十进制数是，那么十进制数2022等于A．(11111011001)2B．(11000110101)2C．(7D9)16D．(8C9)16二、填空题：(每小题4分，共16分)13.在＝；14.已知是直线上的动点是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值时，弦 ;15.已知，为原点，点的坐标满足，则的最大值是___，此时点的坐标是_____.16.下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=}.③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数所有正确命题的序号是.（把你认为正确命题的序号都填上）9/9\n三．解答题：17.（12分）已知△ABC的面积S满足3≤S≤3且的夹角为，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）求的最小值。18．（本小题满分12分）某高校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：血型ABABO人数2010515（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；（Ⅲ）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足．（I）求证：PA⊥平面ABCD；（II）求二面角E－AC－D的大小；（III）在线段BC上是否存在点F使得PF∥面EAC？若存在，确定F的位置；若不存在，请说明理由。DPECAB9/9\n20、椭圆的中心在原点，它的短轴长为，相应的焦点（）的准线与轴相交于，．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线，交椭圆于两点，若点在轴上，且使为的一条角平分线，则称点为椭圆的“左特征点”，求椭圆的左特征点；（3）根据（2）中结论，猜测椭圆左特征点位置．21、设是正项数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论．（3）设，且数列的前项和为，试比较与的大小．22、已知函数（为实常数）（1）当时，求最小值；（2）若在是单调函数，求的取值范围；（3）设各项为正的无穷数列满足，证明：．9/9\n数学（理）答案一、选择题：（60分，第小题6分）1—5CBDAB6—10ABABD11—12DA二、填空题：13.答案：PBACyx14.答案解：过圆心C（1，1）作直线的垂线，垂足为P,这时四边形面积的最小值为，四边形中终边在y轴上的角的集合是函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个交点，因此（3）不正确.9/9\n16.答案：①④17.解（Ⅰ）由题意知……………………3分……………………4分的夹角……………………6分（Ⅱ）……………………9分有最小值。的最小值是……………………12分18．解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，那么，即这2人血型都为A型的概率是．┅┅┅┅4分（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，那么，所以这2人血型相同的概率是．┅┅┅┅8分（Ⅲ）随机变量可能取的值为0，1，2．且，，．所以的分布列是9/9\n012HOSFEPDCBA的数学期望为E=0×+1×+2×=．┅┅┅┅12分19．解：⑴证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC又∵PB⊥BC∴BC⊥面PAB∴BC⊥PA同理CD⊥PA∴PA⊥面ABCD 4分⑵在AD上取一点O使AO=AD，连接E，O，则EO∥PA，∴EO⊥面ABCD 过点O做OH⊥AC交AC于H点，连接EH，则EH⊥AC，从而∠EHO为二面角E－AC－D的平面角6分在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，∴二面角E－AC－D等于arctan8分⑶当F为BC中点时，PF∥面EAC，理由如下：∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES∵PF面EAC，EC面EAC ∴PF∥面EAC，即当F为BC中点时，PF∥面EAC12分20、解：（1）由条件知，可设椭圆方程为又椭圆方程为…………4分（2）设左特征点为，左焦点为，可设直线的方程为由与，消去得又设，则① ②…………9/9\n6分因为为的角平分线，所以，即③将与代入③化简，得④再将①②代入④得即左特征点为…………10分（3）椭圆的左准线与轴的交点为，故猜测椭圆的左特征点为左准线与轴的交点． …………12分21、解：（1）得，相减并整理为又由于，则，故是等差数列．，，故……3分（2）当时，可解得，，猜想使成立…………5分下面证明恒成立令①②②－①可得…………8分（3）则，故…………12分9/9\n22、解（1），当时，，时，时故…………3分（2），显然时，符合要求；当时，令故此时在上只能是单调递减的．故或解得，可知…………8分（3）反证法：不妨设，由（2）知故 故又由（2）知当时，，故，这与上面结论矛盾．故同理…………14分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！9/9
