第47课数列求和（2）1．（2022天津高考）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，，，.(1)求数列与的通项公式；(2)记；证明：．【解析】(1)设数列的公差为，数列的公比为，∵，，∴，解得，∴，，．(2)，∴，①，②①②，得，∴，∴，当时，，∴当时，．7\n2．（2022江西高考）已知数列的前项和（其中为常数），且，．（1）求；（2）求数列的前项和．【答案】【解析】(1)∵当时，，当时，，∴，∵，∴，当或时，，且，∵，∴且，∴，∵，∴，∴，∴，当时，，综上所述．(2)，则，①，②①②，得∴．7\n3．（2022惠州调研）已知数列的前项和为，对任意，有．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1）∵对任意，有，∴，得．又由，得．当且时，有，即，∴，∴是以为首项，为公比的等比数列．需验证取,时也成立.∴，有．∴数列的通项公式为．（2）由（1）得，，设数列的前项和为，则∴，两式相减，得，∴，7\n∴．4．（2022安徽高考）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为．（1）求数列的通项公式；（2）设的前项和为，求．【解析】（1），，，得：当时，取极小值，得：．（2）由（1）得：．．当时，，当时，，当时，，得：当时，，当时，，当时，．7\n5．（2022湖南高考）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．（1）用表示，，并写出与的关系式；（2）若公司希望经过年使企业的剩余资金为万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．【解析】（1），，．（2）∵，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴．由题意，，∴∴．故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为元．7\n6．（2022湖北高考）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．（1）求等差数列的通项公式；（2）若成等比数列，求数列的前项和．【解析】（1）设等差数列的公差为，则，，由题意得，解得，或．∴，，∴，或．（2）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件．故记数列的前项和为．当时，；当时，；当时，．当时，满足此式．7\n综上，7
