带电粒子在电场、磁场中的运动一选择题1.(多选)如图所示，平行板电容器与直流电源连接，上极板接地．一带负电的油滴位于电容器的P点且处于静止状态．现将下极板竖直向下缓慢地移动一小段距离．则( )A．带电油滴将竖直向下运动B．带电油滴的机械能将增加C．P点的电势将升高D．电容器的电容增大，极板带电荷量增加【答案】AC 【解析】将下极板竖直向下缓慢地移动一小段距离，间距d增大，由C＝可得电容器的电容减小，而U一定，由C＝可得电荷量Q减少，选项D错误；根据E＝可得板间场强减小，重力大于电场力，带电油滴将竖直向下运动，电场力做负功，机械能减少，选项A正确、B错误；因上极板接地，电势为0，P点电势φP＝－Ey随E的减小而增大，选项C正确．2.(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2L，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )\nA.若该粒子的入射速度为v＝，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为LB.若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝C.若要使粒子从AC边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝D.该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为【答案】ACD【解析】根据洛伦兹力充当向心力可知：Bqv＝m，若v＝，解得：r＝L；根据几何关系可知，粒子一定从CD边距C点为L的位置离开磁场；故A正确；根据洛伦兹力充当向心力可知，v＝，因此半径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子与AD边相切时速度最大，则由几何关系可知，最大半径为一定大于L；故B错误；若要使粒子从AC边射出，则该粒子从O点入射的最大半径为；因此最大速度应为v＝；故C正确；粒子运行周期为，根据几何关系可知，粒子在磁场中最大圆心角为180°；故最长时间为；故D正确.3.(多选)一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极板间有一带正电小球(电荷量很小)固定在P点，如图所示．以U表示两极板间的电压，E表示两极板间的场强，Ep表示该小球在P点的电势能，若保持负极板不动，而将正极板移至图中虚线所示位置，则( )A．U变小B．U不变C．E变大D．Ep不变\n【答案】AD 【解析】根据电容器充电后与电源断开可知，Q不变，将正极板移至图中虚线所示位置，间距d减小，由C＝，知电容C增大，又U＝，电压U减小，因E＝＝＝，E不变，P点到下极板的距离不变，则P点与下极板的电势差不变，P点的电势φ不变，P点电势能Ep＝φq不变，选项A、D正确．4.如图所示，倾斜放置的平行板电容器两极板与水平面的夹角为θ，极板间距为d，带负电的微粒质量为m、带电荷量为q，微粒从极板M的左边缘A处以初速度v0水平射入极板间，沿直线运动并从极板N的右边缘B处射出，则( )A．微粒到达B点时动能为mvB．微粒的加速度大小等于gsinθC．两极板间的电势差UMN＝D．微粒从A点到B点的过程中电势能减少【答案】C 【解析】微粒的受力情况如图所示，微粒做匀减速直线运动，到达B点时动能小于mv，选项A错误；由牛顿第二定律得mgtanθ＝ma，加速度a＝gtanθ，选项B错误；又电场力Eq＝，两极板间的电场强度E＝，两板间的电势差UMN＝Ed＝，选项C正确；微粒从A向B运动，电场力做负功，电势能增加，选项D错误．\n5.(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B.一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速度可能是( )A.B.C.D.【答案】AB 【解析】由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，所以A、B对．6.图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝2.0×10－3T，在x轴上距坐标原点L＝0.50m的P处为离子的入射口，在y轴上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v＝3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L＝0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力．则上述粒子的比荷(C/kg)是( )\nA．3.5×107 B．4.9×107C．5.3×107D．7×107【答案】B【解析】设粒子在磁场中的运动半径为r，画出粒子的轨迹图如图所示。依题意MP连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得r＝L，由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得qvB＝，联立解得≈4.9×107C/kg，故选项B正确。7.如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A＝60°，AO＝L，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子(不计重力作用)，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0＝.粒子发射方向与OC边的夹角为θ，对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是( )A．粒子有可能打到A点B．以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短C．以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出\n【答案】AD【解析】根据Bqv0＝m，又v0＝，可得r＝＝L，又OA＝L，所以当θ＝60°时，粒子经过A点，所以A正确；根据粒子运动的时间t＝T，圆心角越大，时间越长，粒子以θ＝60°飞入磁场中时，粒子从A点飞出，轨迹圆心角等于60°，圆心角最大，运动的时间最长，所以B错误；当粒子沿θ＝0°飞入磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是，θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，在AC边上有一半区域有粒子飞出，所以C错误，D正确．8.电子束焊接机中的电场线如图中虚线所示.K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d.在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速.不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )A.A、K之间的电场强度为B.电子到达A极板时的动能大于eUC.由K到A电子的电势能减小了eUD.由K沿直线到A电势逐渐减小【答案】C【解析】A、K之间建立的是非匀强电场，公式U＝Ed不适用，因此A、K之间的电场强度不等于.故A错误；根据动能定理得：Ek－0＝eU，得电子到达A极板时的动能Ek＝eU，故B错误；由能量守恒定律知，由K到A电子的电势能减小了eU，故C正确；电场力对电子做正功，则电子受到的电场力向下，电场方向向上，则由K沿直线到A电势逐渐升高，故D错误.二非选择题\n1.如图，空间有一竖直向下沿x轴方向的静电场，电场的场强大小按E＝kx分布(x是轴上某点到O点的距离)，k＝.x轴上，有一长为L的绝缘细线连接A、B两个小球，两球质量均为m，B球带负电，带电荷量为q，A球距O点的距离为L.两球现处于静止状态，不计两球之间的静电力作用．(1)求A球的带电荷量qA；(2)剪断细线后，求B球的最大速度vm.【解析】(1)A、B两球静止时，A球所处位置场强为E1＝kL＝B球所处的位置场强为E2＝k·2L＝对A、B由整体法得：2mg＋qAE1－qE2＝0解得：qA＝－4q(2)当B球下落速度达到最大时，B球距O点距离为x0mg＝qE＝qx0解得：x0＝3L运动过程中，电场力大小线性变化，所以由动能定理得：mgL－EqL＝mv－mvEq＝＝mg解得：vm＝【答案】(1)－4q (2)2.某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L\n，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板的位置．不计粒子的重力．(1)求磁场区域的宽度h；(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；(3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．【解析】(1)设粒子在磁场中的轨迹半径为r，粒子的运动轨迹如图所示．根据题意知L＝3rsin30°＋dcot30°，且磁场区域的宽度h＝r(1－cos30°)解得：h＝(L－d)(1－)．(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r′，洛伦兹力提供向心力，则有m＝qvB，m＝qv′B，由题意知3rsin30°＝4r′sin30°，解得粒子速度的最小变化量Δv＝v－v′＝(－d)．(3)设粒子经过上方磁场n次\n由题意知L＝(2n＋2)cot30°＋(2n＋2)rnsin30°且m＝qvnB，解得vn＝(－d)(1≤n<－1，n取整数)．【答案】(1)(L－d)(1－) (2)(－d)(3)(－d)(1≤n<－1，n取整数)3.真空中存在一中空的柱形圆筒，如图所示是它的一个截面，a、b、c为此截面上的三个小孔，三个小孔在圆形截面上均匀分布，圆筒半径为R.在圆筒的外部空间存在着匀强磁场，磁感应强度大小为B，其方向与圆筒的轴线平行，在图中垂直于纸面向里.现在a处向圆筒内发射一个带正电的粒子，其质量为m，带电荷量为q，使粒子在如图所示平面内运动，设粒子只受磁场力的作用，若粒子碰到圆筒即会被吸收，则：(1)若要粒子发射后在以后的运动中始终不会碰到圆筒，则粒子的初速度的大小和方向有何要求？(2)如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，则为使粒子以后都不会碰到圆筒，粒子的初速度大小和方向有何要求？【答案】(1)，方向从a指向b (2)，方向由a指向圆筒截面的圆心【解析】(1)依题意，粒子进入圆筒后从a指向b，从b进入磁场偏转后只能由c进入圆筒，且方向指向a.画出粒子运动的轨迹如图甲，粒子的偏转角是240°，由图中的几何关系得：粒子运动的圆心一定在圆筒上，而且粒子的半径r＝R.粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，所以：qv1B＝，联立得：v1＝.\n甲(2)如果在圆筒内的区域中还存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，由粒子运动的对称性可知，粒子运动的轨迹只能是从a到b，然后在外侧的磁场中到c，在圆筒内再到a，然后在外侧的磁场中到b，在圆筒内再到c，然后在外侧的磁场中到a.乙粒子运动的初速度方向是从a指向圆心.做出粒子运动的轨迹，粒子运动轨迹如图乙所示，由图可知，cd⊥Oc，bd⊥Ob，所以粒子的偏转角：β＝300°，所以：∠bOd＝60°，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设圆弧的圆半径为r′，粒子的偏转半径：r′＝Rtan60°＝R由牛顿第二定律得：qv′B＝所以：v′＝.4.如图所示，在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B.在正方形对角线CE上有一点P，其到CF、CD距离均为，且在P点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m，电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力．\n(1)速率在什么范围内的所有离子均不可能射出正方形区域？(2)求速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围．【答案】(1)v≤ (2)≤d<【解析】因离子以垂直于磁场的速度射入磁场，故其在洛伦兹力作用下必做圆周运动．(1)依题意可知离子在正方形区域内做圆周运动不射出该区域，做圆周运动的半径为r≤.对离子，由牛顿第二定律有qvB＝m⇒v＝≤.(2)当v＝时，设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，则由qvB＝m可得R＝＝·＝.甲要使离子从DE射出，则其必不能从CD射出，其临界状态是离子轨迹与CD边相切，设切点与C点距离为x，其轨迹如图甲所示，由几何关系得：\nR2＝(x－)2＋(R－)2，计算可得x＝L，设此时DE边出射点与D点的距离为d1，则由几何关系有：(L－x)2＋(R－d1)2＝R2，解得d1＝.乙而当离子轨迹与DE边相切时，离子必将从EF边射出，设此时切点与D点距离为d2，其轨迹如图乙所示，由几何关系有：R2＝(L－R)2＋(d2－)2，解得d2＝.故速率为v＝的离子在DE边的射出点距离D点的范围为≤d<。5．如图所示，在匀强电场中建立直角坐标系xOy，y轴竖直向上，一质量为m、电荷量为＋q的微粒从x轴上的M点射出，方向与x轴夹角为θ，微粒恰能以速度v做匀速直线运动，重力加速度为g.(1)求匀强电场场强E；(2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场，使微粒能到达x轴上的N点，M、N两点关于原点O对称，距离为L，微粒运动轨迹也关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B\n，方向垂直xOy平面向外，求磁场区域的最小面积S及微粒从M运动到N的时间t.【答案】(1)，方向竖直向上 (2) ＋【解析】(1)对微粒有qE－mg＝0，得E＝方向竖直向上．(2)微粒在磁场中有qvB＝m，解得R＝.如图所示，当PQ为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小．有r＝Rsinθ其面积S＝πr2＝又T＝(或T＝)根据几何关系可知偏转角为2θ则在磁场中运动的时间t2＝T＝又MP＝QN＝，且有t1＝t3＝故运动的时间t＝t1＋t2＋t3＝＋＝＋＝＋6.如图所示，在xOy平面内，以O′(0，R)为圆心、R为半径的圆内有垂直平面向外的匀强磁场，x轴下方有垂直平面向里的匀强磁场，两区域磁感应强度大小相等．第四象限有一与x轴成45°角倾斜放置的挡板PQ，P、Q两点在坐标轴上，且O、P两点间的距离大于2R，在圆形磁场的左侧0<y<2R的区间内，均匀分布着质量为m、电荷量为＋q的一簇带电粒子，当所有粒子均沿x轴正向以速度v射入圆形磁场区域时，粒子偏转后都从O点进入x\n轴下方磁场，结果有一半粒子能打在挡板上．不计粒子重力、不考虑粒子间相互作用力．求：(1)磁场的磁感应强度B的大小；(2)挡板端点P的坐标；(3)挡板上被粒子打中的区域长度．【解析】(1)设一粒子自磁场边界A点进入磁场，该粒子由O点射出圆形磁场，轨迹如图甲所示，过A点做速度的垂线，长度为r，C为该轨迹圆的圆心。连接AO′、CO，可证得ACOO′为菱形，根据图中几何关系可知：粒子在圆形磁场中的轨道半径r＝R，(3分)由qvB＝m(3分)得B＝.(2分)(2)有一半粒子打到挡板上需满足从O点射出的沿x轴负方向的粒子、沿y轴负方向的粒子轨迹刚好与挡板相切，如图乙所示，过圆心D作挡板的垂线交于E点，(1分)\nDP＝R，OP＝(＋1)R(2分)P点的坐标为[(＋1)R,0](1分)(3)设打到挡板最左侧的粒子打在挡板上的F点，如图丙所示，OF＝2R(1分)过O点作挡板的垂线交于G点，OG＝(＋1)R·＝(1＋)R(2分)FG＝＝R(2分)EG＝R(1分)挡板上被粒子打中的区域长度l＝FE＝R＋R＝R(2分)【答案】(1) (2)[(＋1)R,0] (3)R\n
