课后限时集训(五十六) 曲线与方程建议用时：40分钟一、选择题1．若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是( )A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B [当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B．]2．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为( )A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4xA [设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵·＝·，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]3．(2020·静安区二模)方程2x2－9xy＋8y2＝0的曲线C所满足的性质为( )①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称；④关于直线y＝x对称．A．①③B．②③C．①④D．①②A [由题意，2x2－9xy＋8y2＝0化为：9xy＝2x2＋8y2≥0，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y换y，方程发生改变，所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以③正确；方程2x2－9xy＋8y2＝0，x，y互换，方程化为8x2－9xy＋2y2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A．]4．(2020·成都模拟)设C为椭圆x2＋＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AC至点P，使得|PC|＝|BC|，则点P的轨迹方程为( )A．x2＋(y－2)2＝20B．x2＋(y＋2)2＝20C．x2＋(y－2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5B [如图，由椭圆方程x2＋＝1，得a2＝5，b2＝1，∴c＝＝2，则A(0，－2)，\nB(0,2)为椭圆两焦点，∴|CA|＋|CB|＝2a＝2，∵|PC|＝|BC|，∴|PA|＝|PC|＋|CA|＝|BC|＋|CA|＝2.∴点P的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆，其方程为x2＋(y＋2)2＝20.故选B．]5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＋＝1(y≠0)则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为( )A．C3，C1，C2B．C1，C2，C3C．C3，C2，C1D．C1，C3，C2A [①△ABC的周长为10，即|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，又|BC|＝4，所以|AB|＋|AC|＝6>|BC|，此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10，所以|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2对应．故选A．]6．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，＝＋，则点M的轨迹方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1A [设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由＝＋，得(x，y)＝(x0,0)＋(0，y0)，\n则解得由|AB|＝5，得＋＝25，化简得＋＝1.]二、填空题7．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为．(x－10)2＋y2＝36(y≠0) [设A(x，y)，则D.∴|CD|＝＝3，化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点构成三角形，∴A不能落在x轴上，即y≠0.]8．一条线段的长等于6，两端点A，B分别在x轴和y轴的正半轴上滑动，P在线段AB上且＝2，则点P的轨迹方程是．4x2＋y2＝16(x＞0，y＞0) [设P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝36.因为＝2，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，所以即代入a2＋b2＝36，得9x2＋y2＝36，即4x2＋y2＝16.]9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是．＋＝1(y≠0) [设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]三、解答题\n10．在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，求顶点A的轨迹方程．[解] 以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.所以|AB|－|AC|＝2＜4，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝，c＝2，所以b＝，所以轨迹方程为－＝1(x＞)．11.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，点P在x轴上的射影是点D，点M满足＝.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．[解] (1)设M(x，y)，则D(x,0)，由＝知，P(x,2y)，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C为椭圆．(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，\n∴y1＋y2＝k(x1－3)＋k(x2－3)＝k(x1＋x2)－6k＝－6k＝－.∵四边形OAEB为平行四边形，∴＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，又＝(x，y)，∴消去k，得x2＋4y2－6x＝0，由(*)中Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，得k2<，∴0<x<.∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x＝0.1．(2020·宁城模拟)如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是( )A．抛物线B．双曲线一支C．椭圆D．抛物线或双曲线B [房间壁灯向上照射，区域可理解为顶点在下面的圆锥，墙面不与圆锥面的母线平行，结果不是抛物线，又壁灯轴线与墙面平行，则不是椭圆，而墙面与圆锥侧面相交，且不过圆锥顶点，又与壁灯轴线平行，则结果为双曲线的一支．故选B．]2.(2020·湖北八校二联)如图，AB是与平面α交于点A的斜线段，点C满足|BC|＝λ|AC|(λ＞0)，且在平面α内运动，给出以下几个命题：①当λ＝1时，点C的轨迹是抛物线；②当λ＝1时，点C的轨迹是一条直线；③当λ＝2时，点C的轨迹是圆；④当λ＝2时，点C的轨迹是椭圆；⑤当λ＝2时，点C的轨迹是双曲线．其中正确的命题是\n(将所有正确命题的序号填到横线上)．②③ [在△ABC中，|BC|＝λ|AC|，当λ＝1时，|BC|＝|AC|，过AB的中点作线段AB的垂面β，则点C在α与β的交线上，所以点C的轨迹是一条直线．当λ＝2时，|BC|＝2|AC|，设B在平面α内的射影为D，连接BD，CD，AD(图略)．设|BD|＝h，则|BC|＝.设|AD|＝2a，在平面α内，以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，设C(x，y)，则A(－a,0)，D(a,0)，|CA|＝，|CD|＝，|CB|＝＝，所以＝2，化简可得＋y2＝＋，所以当λ＝2时，点C的轨迹是圆．故②③正确．]3．在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x,1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点)．求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型．[解] ＝(x,1)，＝(x，－2)，＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵λ2·＝·，∴(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)．①当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；②当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；③当λ∈(－1,0)∪(0,1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；④当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线．1．(2020·浦东新区三模)数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，\n一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物．曲线C：(x2＋y2)3＝16x2y2为四叶玫瑰线，下列结论正确的有( )①方程(x2＋y2)3＝16x2y2(xy＜0)，表示的曲线在第二和第四象限；②曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C构成的四叶玫瑰线面积大于4π；④曲线C上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)．A．①②B．①②③C．①②④D．①③④A [对于①，因为xy＜0，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，即①正确．对于②，因为x2＋y2≥2xy(x＞0，y＞0)，所以xy≤，所以(x2＋y2)3＝16x2y2≤16×＝4(x2＋y2)2，所以x2＋y2≤4，即②正确．对于③，以O为圆点，2为半径的圆O的面积为4π，显然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，即③错误．把x＝，y＝代入曲线C，可知等号两边成立，所以曲线C在第一象限过点(，)，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点M，对于④，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把(1,1)，(1,2)和(2,1)代入曲线C的方程验证可知，等号不成立，所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点(0,0)，即④错误．故选A．]2．(2020·宝山区模拟)如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播V0千米)．\n(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？[解] (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，可知野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号的位置，在以AB为焦点的双曲线的左支，所以c＝30,2a＝40，所以a＝20，则b＝10，所以观察员所有可能出现的位置的轨迹方程为－＝1，x＜0.(2)已知C点与A点接收到信号的时间相同，则观察员遇险地点既在双曲线上，又在y＝－x(x＜0)上，所以可得x＝－20，y＝20，观察员遇险地点坐标(－20，20)，观察员遇险地点与监测中心O的距离为＝20.(3)由题意可得以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，可得x2＋(y－30)2＝r2，与－＝1，x≤0联立，消去x可得9y2－300y＋6500－5r2＝0，Δ＝90000－36(6500－5r2)≥0，解得r≥20.为保证有救援希望，扫描半径r至少是20公里．
