课后限时集训(四十九) 圆的方程建议用时：40分钟一、选择题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D [因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.]2．(2020·西城二模)圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0截x轴所得弦的长度等于( )A．2B．2C．2D．4B [令y＝0得x2＋4x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝1.∴|AB|＝＝2.]3．(2020·北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A．4B．5C．6D．7A [设圆心C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选A.]4．(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为( )A．4B．6C．3＋1D．8ABC [如图．圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3,3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6.选项ABC中的值均符合，只有D不符合．故选ABC.]\n5．动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝4C．(2x－3)2＋4y2＝1D．2＋y2＝C [设中点M(x，y)，则动点A(2x－3,2y)．∵点A在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，即(2x－3)2＋4y2＝1.故选C.]6．(多选)(2020·山东青岛检测)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4ACD [因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)5＝25，将点(2，－1)代入可知满足圆的方程，故C正确；它们的圆心距为＝4，D正确．]二、填空题7．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．(x－2)2＋(y－1)2＝1 [设对称圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.]8．(2020·湖北随州期末)已知O为坐标原点，直线l与圆x2＋y2－6y＋5＝0交于A，B两点，|AB|＝2，点M为线段AB的中点．则点M的轨迹方程是________，|＋|的取值范围为________．x2＋(y－3)2＝3 [6－2，6＋2] [由题意，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心为C(0,3)，半径R＝2，设圆心到直线l的距离为d，可得|AB|＝2，即2＝2，整理得d＝，即|MC|＝，所以点M的轨迹表示以C(0,3)为圆心，以为半径的圆，所以点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3.根据向量的运算可得|＋|＝|2|＝2||，又|OC|＝3，所以|OC|－≤||≤|OC|＋，即3－≤||≤3＋，所以6－2≤2||≤6＋2，即|＋|的取值范围为[6－2，6＋2]．]9．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是________．\n＋1 [将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1.]三、解答题10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．[解] (1)由已知得直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又直径|CD|＝4，所以|PA|＝2.所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)，所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.11.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A(－3,0)，B(3,0)，C(，3)，D(－，3)，设圆心E(0，b)，由|EB|＝|EC|可知(0－3)2＋(b－0)2＝(0－)2＋(b－3)2，解得b＝1.所以r2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10.所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x－5,2y－2)．将M点代入圆的方程得(2x－5)2＋(2y－3)2＝10，即2＋2＝.\n1．(多选)(2020·山东德州期末)已知点A是直线l：x＋y－＝0上一定点，点P，Q是圆x2＋y2＝1上的动点，若∠PAQ的最大值为90°，则点A的坐标可以是( )A．(0，)B．(1，－1)C．(，0)D．(－1,1)AC [原点O到直线l的距离为d＝＝1，则直线l与圆x2＋y2＝1相切，当AP，AQ均为圆x2＋y2＝1的切线时，∠PAQ取得最大值．连接OP，OQ(图略)，由于∠PAQ的最大值为90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，故四边形APOQ为正方形，所以|OA|＝|OP|＝，设点A的坐标为(t，－t)，由两点间的距离公式得|OA|＝＝，整理得2t2－2t＝0，解得t＝0或t＝，因此，点A的坐标为(0，)或(，0)．故选AC.]2．已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y＝0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C的方程为________．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2 [设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知∴或故所求圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.]3．动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．[解] (1)∵x1，x2是方程x2＋2mx－4＝0的两根，∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝－4.∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(－m,0)，半径为＝＝＝.∴动圆C的方程为(x＋m)2＋y2＝m2＋4.(2)证明：设动圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0，y1)，令y＝0，则x2＋Dx＋F＝0，由题意可知D＝2m，F＝－4，又动圆C过点M(0,1)，∴1＋E－4＝0，解得E＝3.令x＝0，则y2＋3y－4＝0，解得y＝1或y＝－4，∴y1＝－4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1－1|＝5.故动圆C在y轴上截得弦长为定值．\n1．(2020·青岛模拟)如图A(2,0)，B(1,1)，C(－1,1)，D(－2,0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.给出以下4个结论：①曲线W与x轴围成的面积等于2π；②曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)；③所在圆的方程为：x2＋(y－1)2＝1；④与的公切线方程为：x＋y＝＋1.则上述结论正确的是( )A．①②③④B．②③④C．①②③D．②③B [曲线W与x轴的图形为以(0,1)圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的圆，加上以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形构成，可得其面积为π＋2×π＋2＝2＋π≠2π，故①错误；曲线W上有(－2,0)，(－1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故②正确；是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，故③正确；设与的公切线方程为y＝kx＋t(k＜0，t＞0)，由直线和圆相切的条件可得＝1＝，解得k＝－1，t＝1＋(t＝1－舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋，即x＋y＝1＋，故④正确．故选B.]2．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．[解] 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,\n0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，故所求圆的方程为2＋y2＝.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.
