课后限时集训(四) 不等关系与不等式建议用时：25分钟一、选择题1．如果a＞0＞b且a2＞b2，那么以下不等式中正确的个数是( )①a2b＜b3；②＞0＞；③a3＜ab2.A．0B．1C．2D．3C [由a2＞b2，b＜0知a2b＜b3，①正确；由a＞0＞b知＞0＞，②正确；由a2＞b2，a＞0知a3＞ab2，③错误．故选C.]2．(2020·汉中模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )A．|a|＞|b|B．＞C．＞D．a2＞b2B [∵a＜b＜0，∴a＜a－b＜0，∴＜，因此B不正确，故选B.]3．(多选)(2020·山东菏泽线上模拟)已知a＞1,0＜c＜b＜1，则下列不等式正确的是( )A．ab＞acB．＞C．logba＜logcaD．＞ACD [由a＞1,0＜c＜b＜1，可得ab＞ac，故A正确；由a＞1,0＜c＜b＜1，可得－＝＝＜0，则＜，故B错误；由a＞1,0＜c＜b＜1，得logac＜logab＜0，则＜＜0，所以logba＜logca，故C正确；由a＞1,0＜c＜b＜1，得－＝＝＞0，所以＞，故D正确．故选ACD.]4．若a＞0，且a≠7，则( )\nA．77aa＜7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa＞7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定C [＝77－aaa－7＝a－7.若a＞7，则＞1，a－7＞0，∴a－7＞1；若0＜a＜7，则0＜＜1，a－7＜0，∴a－7＞1.综上知＞1.又7aa7＞0，∴77aa＞7aa7，故选C.]5．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )A．xy＞yzB．xy＞xzC．xz＞yzD．x|y|＞|y|zB [因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定．对于A，因为x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A不正确；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正确；对于D，因为x＞z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D不正确．故选B.]6．(2020·湖北荆州期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )A．若ab≠0且a＜b，则＞B．若0＜a＜1，则a3＜aC．若a＞b＞0，则＜D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2B [令a＝－2，b＝1，则＜，A错误；若0＜a＜1，则a2＜1，a(a2－1)＜0，即a3＜a，B正确；若a＞b＞0，则ab＋a－ab－b＝a－b＞0，所以＞，C错误；若b＝0，则cb2＝ab2，D错误．]7．已知12＜a＜60,15＜b＜36，则的取值范围是( )A.B．C.D．\nB [由15＜b＜36得＜＜，又12＜a＜60，所以＜＜，即＜＜4，故选B.]8．若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是( )A．27B．12C．17D．81A [由3≤xy2≤8,4≤≤9，可知x＞0，y＞0，且≤≤，16≤≤81，可得2≤≤27，故的最大值是27.故选A.]二、填空题9．若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ab＜b2中，正确的不等式有________．(填序号)①④ [因为＜＜0，所以b＜a＜0，a＋b＜0，ab＞0，所以a＋b＜ab，|a|＜|b|，在b＜a两边同时乘以b，因为b＜0，所以ab＜b2.因此正确的是①④.]10．若a＜b，d＜c，并且(c－a)(c－b)＜0，(d－a)(d－b)＞0，则a，b，c，d的大小关系为________．d＜a＜c＜b [因为a＜b，(c－a)(c－b)＜0，所以a＜c＜b，因为(d－a)(d－b)＞0，所以d＜a＜b或a＜b＜d，又d＜c，所以d＜a＜b.综上，d＜a＜c＜b.]11．若α，β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________． [由－＜α＜β＜得－π＜2α＜π，－＜－β＜－α＜，∴－π＜2α－β＜2α－α＝α＜，即－π＜2α－β＜.]12．已知三个不等式①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．\n3 [①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得＞0，又由③得bc－ad＞0.所以ab＞0，②③⇒①.所以可以组成3个正确命题．]1．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一个颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z；且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A．ax＋by＋czB．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cxD．ay＋bx＋czB [采用特殊值法验证：令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.故选B.]2．(多选)(2020·济南外国语学校月考)已知a，b为正实数，则下列命题正确的是( )A．若a2－b2＝1，则a－b＜1B．若－＝1，则a－b＜1C．若ea－eb＝1，则a－b＜1D．若lna－lnb＝1，则a－b＜1AC [对于A，当a2－b2＝1，即(a－b)·(a＋b)＝1时，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝＜1，故A正确．对于B，当－＝1时，不妨取a＝3，b＝，则a－b＝＞1，∴B错误．对于C，由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln2＜lne＝1，故C正确．对于D，不妨取a＝e2，b＝e，则a－b＝e2－e＞1，∴D错误．故选AC.]
