课后限时集训(七十七) 不等式的证明建议用时：25分钟1．已知a＞0，b＞0，c＞0.(1)求证：a4－a2b2＋b4≥；(2)若abc＝1，求证：a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac.[证明] (1)要证a4－a2b2＋b4≥，即证(a2＋b2)(a4－a2b2＋b4)≥ab(a4＋b4)，即证a6＋b6≥a5b＋ab5，即证a6＋b6－a5b－ab5≥0，即证a5(a－b)－(a－b)b5≥0，即证(a5－b5)(a－b)≥0，该式显然成立，当且仅当a＝b时等号成立，故a4－a2b2＋b4≥.(2)由算术－几何平均不等式得a3＋b3＋c3≥3abc，a3＋b3＋1≥3ab，b3＋c3＋1≥3bc，a3＋c3＋1≥3ac，将上面四式相加，可得3a3＋3b3＋3c3＋3≥3abc＋3ab＋3bc＋3ac，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．即a3＋b3＋c3≥ab＋bc＋ac.2．已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0<x<1)的最小值．[解] (1)证明：因为＋－(a＋b)＝＝＝.\n又因为a>0，b>0，所以≥0，当且仅当a＝b时等号成立．所以＋≥a＋b.(2)因为0<x<1，所以1－x>0，由(1)的结论，y＝＋≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．所以函数y＝＋(0<x<1)的最小值为1.1．已知函数f(x)＝m－|x－1|(m>0)，且f(x＋1)≥0的解集为[－3,3]．(1)求m的值；(2)若正实数a，b，c满足＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥3.[解] (1)因为f(x＋1)＝m－|x|，所以f(x＋1)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m，得解集为[－m，m](m>0)，又由f(x＋1)≥0的解集为[－3,3]，故m＝3.(2)证明：由(1)知＋＋＝3，又∵a，b，c是正实数，∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥＝3.当且仅当a＝1，b＝，c＝时等号成立，所以a＋2b＋3c≥3.2．已知函数f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值为M.(1)若m，n∈[－M，M]，求证：2|m＋n|≤|4＋mn|；\n(2)若a，b∈(0，＋∞)，a＋2b＝M，求＋的最小值．[解] (1)证明：∵f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|≥|2x－3－(2x－1)|＝2，∴M＝2.要证明2|m＋n|≤|4＋mn|，只需证明4(m＋n)2≤(4＋mn)2，∵4(m＋n)2－(4＋mn)2＝4(m2＋2mn＋n2)－(16＋8mn＋m2n2)＝(m2－4)(4－n2)，∵m，n∈[－2,2]，∴m2，n2∈[0,4]，∴(m2－4)(4－n2)≤0，∴4(m＋n)2－(4＋mn)2≤0，∴4(m＋n)2≤(4＋mn)2，可得2|m＋n|≤|4＋mn|.(2)由(1)得，a＋2b＝2，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋＝(a＋2b)＝≥＝4，当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．所以＋的最小值为4.
