课后限时集训(七十六) 绝对值不等式建议用时：25分钟1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．[解] (1)当a＝2时，f(x)＝因此，不等式f(x)≥4的解集为x≤或x≥.(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.当－1<a<3时，f(a2)＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2<4.所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2．(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f(x)＝|2x＋3|－|x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)＞2a－|3x－3|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．[解] (1)由f(x)≤3，得|2x＋3|－|x－1|≤3，不等式可化为或或，解得无解或－＜x≤或－7≤x≤－，∴不等式f(x)≤3的解集为.(2)若不等式f(x)＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，即不等式|2x＋3|－|x－1|＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，即不等式|2x＋3|＋|2x－2|＞2a对任意的x∈R恒成立，∵|2x＋3|＋|2x－2|≥|(2x＋3)－(2x－2)|＝5，∴2a＜5，即a＜，故实数a的取值范围是.\n1．(2020·贵阳市四校联考)已知函数f(x)＝|x－m|＋|2x－1|，m∈R.(1)当m＝1时，解不等式f(x)＜2；(2)若不等式f(x)＜3－x对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围．[解] (1)当m＝1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，∴f(x)＝，f(x)＜2，即或或，解得0＜x＜或≤x≤1或1＜x＜，∴f(x)＜2的解集为(2)由题意，f(x)＜3－x对任意的x∈[0,1]恒成立，即|x－m|＜3－x－|2x－1|对任意的x∈[0,1]恒成立．令g(x)＝3－x－|2x－1|＝，∴函数y＝|x－m|的图象应该恒在g(x)的图象的下方，数形结合可得0＜m＜2.2．(2020·湖北八校第一次联考)设函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a＞0)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)若关于x的不等式f(x)＜＋a在区间上有解，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋|x＋2|＝∴f(x)min＝f(1)＝3.(2)当x∈，且a＞0时，原不等式可化为|2x－a|＋x＋a＜＋a，即|2x－a|＜－x，即－＜2x－a＜－x，即3x－＜a＜x＋，∴题设等价于∃x∈，3x－＜a＜x＋且a＞0.由得≤x＜1，∴题设等价于∃x∈，3x－＜a＜x＋且a＞0，\n即min＜a＜max且a＞0.则a的取值范围为.
