课后限时集训(五十三) 双曲线建议用时：40分钟一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )A．B．1C．D．2C [根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C.]2．已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A．虚轴长为4B．焦距为2C．离心率为D．渐近线方程为2x±3y＝0D [由题意知，双曲线－＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝＝，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是( )A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5BD [对于A，当t＝3时，方程x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确；对于B，当t＜1时，5－t＞0，t－1＜0，此时曲线C是焦点在x轴上的双曲线，所以B正确；对于C，当t＝0时，方程－＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确；对于D，当方程＋\n＝1表示焦点在y轴上的椭圆时，满足解得3＜t＜5，所以D正确．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )A．B．3C．D．2B [法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2，两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，又|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝6，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6＝3，故选B.法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(－2,0)，F2(2,0)，又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝＝＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故选B.]5．已知双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝( )A．1B．13C．17D．1或13B [由题意知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，可得＝，解得a＝3，所以c＝＝5.又由F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|＝7，可得点P在双曲线的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故选B.]6．(2020·西安模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为( )A．30°B．45°C．60°D．120°B [设双曲线－＝1的右顶点A(a,0)，右焦点F2(c,0)到渐近线y＝x的距离分别为1\n和，则有即＝.则＝＝－1＝2－1＝1，即＝1.设渐近线y＝x的倾斜角为θ，则tanθ＝＝1.所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E过点(3，)，(6，)，则( )A．E的方程为－y2＝1B．直线x－y－1＝0与E有且仅有一个公共点C．曲线y＝ln(x－1)过E的一个焦点D．E的离心率为ABC [设双曲线E的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线E过点(3，)，(6，)，所以解得故双曲线E的方程为－y2＝1，选项A正确；联立直线与双曲线的方程，得消去x得y2－2y＋2＝0，Δ＝0，故选项B正确；E的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y＝ln(x－1)上，故C正确；因为a＝，c＝2，所以双曲线E的离心率e＝，选项D错误．故选ABC.]8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为－＝1的条件是( )A．双曲线的离心率为B．双曲线过点C．双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0D．双曲线的实轴长为4ABC [由题意可得焦点在x轴上，且c＝5.A选项，若双曲线的离心率为，则a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，此时双曲线的方程为－＝1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为－\n＝1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程为－＝m(m＞0)，所以c2＝16m＋9m＝25，解得m＝1，此时双曲线的方程为－＝1，故C正确；D选项，若双曲线的实轴长为4，则a＝2，所以b2＝c2－a2＝21，此时双曲线的方程为－＝1，故D错误．故选ABC.]二、填空题9．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.1 2 [由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．2 [由已知得|AB|＝|CD|＝，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.因为2|AB|＝3|BC|，所以＝6c，又b2＝c2－a2，所以2e2－3e－2＝0，解得e＝2，或e＝－(舍去)．]11．已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2) [对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4<m<8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0,2)．]12．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.\n不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，则解得则|PF1|·|PF2|＝3.]1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为________．2 [如图，由＝，得F1A＝AB.又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2∥OA，BF2＝2OA.由·＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝180°，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，又渐近线OB的斜率为＝tan60°＝，所以该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2.]2．(2020·黄冈模拟)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A(－6,0)，若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为________．－＝1 28 [∵双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－8)，∴解得a＝4，b＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.设双曲线的上焦点为F′(0,8)，则|PF|＝|PF′|＋8，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋|PA|＋|AF|＋8.\n当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|＋|PA|最小，最小值为|AF′|＝10.而|AF|＝10，故△PAF的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]
