课后限时集训(五十四) 抛物线建议用时：40分钟一、选择题1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A．x2＝yB．x2＝y或x2＝－yC．x2＝－yD．x2＝12y或x2＝－36yD [将y＝ax2化为x2＝y.当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.]2．(2020·泰安模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p＝( )A．1B．C．2D．2B [由题意，在抛物线上，代入抛物线方程可得1＝，∵p＞0，∴p＝，故选B.]3．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OPB [如图所示：因为线段FQ的垂直平分线上的点到F，Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|＝|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.]\n4．(多选)(2020·辽宁锦州月考)以下四个命题中，真命题的序号是( )①平面内到两定点距离之比等于常数λ(λ≠1)的点的轨迹是圆；②平面内与定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差等于4的点的轨迹方程为－＝1；③点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是M，点A的坐标是A(1,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是＋1；④已知点P为抛物线y2＝4x上一个动点，点Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是－1.A．①B．② C．③ D．④AD [对于①，平面内到两定点的距离之比为定值(不等于1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，所以①正确；对于②，根据题意，结合双曲线的定义，可知题中点的轨迹是双曲线的一支，所以②错误；对于③，根据题意，结合抛物线的定义，可求得|PA|＋|PM|的最小值应为－1，所以③错误；对于④，根据抛物线的定义，可知抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离是相等的，将其转化为到焦点的距离，结合圆的相关性质可知④是正确的．]5．(多选)(2020·山东胶州一中月考)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为( )A．3B．4C.D．ABD [抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F(1,0)的距离，过焦点F作直线4x－3y＋11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1＋d2的最小值，如图所示：所以(d1＋d2)min＝＝3，故选ABD.]6．(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为( )A.B．2C．4D．8\nC [如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.∵直线AF的斜率为－，∴∠AFN＝60°.∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．∴S△AMF＝×42＝4.故选C.]二、填空题7．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________.y2＝8x 6 [抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(2,0)，可得p＝4，则抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以|FN|＝＝6.]8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．2 [建立平面直角坐标系如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意可知抛物线过点(2，－2)，故4＝4p，∴p＝1，∴x2＝－2y.故当y＝－3时，x2＝6，即x＝.所以当水位降1米后，水面宽2米．]9．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作一条直线交抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________. [法一：由题意可知F(1,0)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，点A在第一象限，则|AF|＝xA＋1＝3，所以xA＝2，yA＝2，所以直线AB的斜率为k＝＝2.\n则直线AB的方程为y＝2(x－1)，与抛物线方程联立整理得2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝，所以xB＝，所以|BF|＝＋1＝.法二：由＋＝可知＝1－＝，∴|BF|＝.]三、解答题10.如图，抛物线的顶点在原点，圆(x－2)2＋y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．(1)求抛物线的方程；(2)一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A，B，C，D四点，求|AB|＋|CD|的值．[解] (1)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∵圆(x－2)2＋y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p＝4.∴抛物线的方程为y2＝8x.(2)依题意直线AB的方程为y＝2x－4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，|AD|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.|AB|＋|CD|＝|AD|－|CB|＝10－4＝6.11.如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线．[解] (1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋＝3，解得p＝2.∴抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：∵点A(2，m)在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)，由A(2,2)，F(1,0)，\n∴直线AF的方程为y＝2(x－1)，由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或，∴B.又G(－1,0)，∴kGA＝，kGB＝－，∴kGA＋kGB＝0，∴∠AGF＝∠BGF.∴GF为∠AGB的平分线．1．已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|＋|PN|的最小值为( )A．3B．4C．5D．＋1A [由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3.]2．(2020·济宁三模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足＝2，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为( )A．B．C．D．B [由题意得抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵＝2，∴|AF|＝2|BF|，∴x1＋1＝2(x2＋1)，∴x1＝2x2＋1，∵|y1|＝2|y2|，∴y＝4y，∴x1＝4x2，∴x1＝2，x2＝.∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1＋1)＋(x2＋1)]＝.故选B.]3．已知点A(m,4)(m＞0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2\n，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C.(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于BC对称，求|BC|的取值范围．[解] (1)证明：∵点A(m,4)在抛物线上，∴16＝m2，∴m＝±4，又m＞0，∴m＝4.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则kAB＋kAC＝＋＝＝0，∴x1＋x2＝－8.∴kBC＝＝＝＝－2，∴直线BC的斜率为定值－2.(2)设直线BC的方程为y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4)关于直线BC对称，设PQ的中点为M(x0，y0)，则kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1.∴M(1，－2＋b)．又点M在抛物线内部，∴－2＋b＞，即b＞.由得x2＋8x－4b＝0，∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b.∴|BC|＝|x3－x4|＝·＝×.又b＞，∴|BC|＞10.∴|BC|的取值范围为(10，＋∞)．1．(多选)(2020·黑龙江大庆一中月考)如图，过抛物线y2＝8x的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则( )\nA．k＝±B．k＝±2C．|AB|＝9D．|AB|＝10BC [如图，设A，B在准线上的射影分别为D，E，连接AD，BE，设AB＝BC＝m，直线l的倾斜角为α，则|BE|＝m|cosα|，所以|AD|＝|AF|＝|AB|－|BF|＝|AB|－|BE|＝m(1－|cosα|)，|cosα|＝＝，解得|cosα|＝，所以|sinα|＝＝，故|k|＝|tanα|＝2.由抛物线焦点弦的弦长公式|AB|＝可得|AB|＝＝9.综上，选BC.或：由|cosα|＝得tanα＝±2，可得直线方程．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将直线方程与抛物线方程联立，进而可解得xA＋xB＝5，于是|AB|＝xA＋xB＋4＝9.故选BC.]2．(2020·静安区二模)已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，且＋＋＝0，则称该三角形为“核心三角形”．(1)是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由；(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4，求直线AB的方程；(3)已知△ABC是“核心三角形”，证明：点A的横坐标小于2.[解] (1)抛物线Г：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由＋＋＝0，得1＝，0＝，故第三个顶点的坐标为3(1,0)－(0,0)－(1,2)＝(2，－2)，但点(2，－2)不满足抛物线的方程，即点(2，－2)不在抛物线上，\n所以这样的“核心三角形”不存在．(2)设直线AB的方程为y＝4x＋t，与y2＝4x联立，可得y2－y＋t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，y1＋y2＝1，x1＋x2＝(y1＋y2－2t)＝－t，由(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3)＝(3,0)，可得x3＝t＋，y3＝－1，代入方程y2＝4x，可得11＋2t＝1，解得t＝－5，所以直线AB的方程为4x－y－5＝0.(3)证明：设直线BC的方程为x＝ny＋m，与y2＝4x联立，可得y2－4ny－4m＝0，因为直线BC与抛物线相交，故判别式Δ＝16(n2＋m)＞0，y1＋y2＝4n，所以x1＋x2＝n(y1＋y2)＋2m＝4n2＋2m，可得点A的坐标为(－4n2－2m＋3，－4n)，又因为A在抛物线上，故16n2＝－16n2－8m＋12，可得m＝－4n2＋，因为m＞－n2，所以n2＜，故A的横坐标为－4n2－2m＋3＝－4n2＋8n2＝4n2＜2.
