直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种判断方法：2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解1．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．\n2．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.3．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C [由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]3．圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为．x－y＋2＝0 [因为点P(1，)是圆Q：x2＋y2－4x＝0上的一点，所以点P为切点，从而圆心与P的连线与切线垂直．又圆心(2,0)，所以·k＝－1，解得k＝.故在点P处的切线方程为x－y＋2＝0.]\n4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于．4 [由题意知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长为2＝4.]考点一 直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[典例1] (1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1B．2C．3D．4(1)A (2)C [(1)法一：(代数法)由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．法二：(几何法)∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<.故直线l与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．(2)如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．]点评：(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d＝r，d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形，转化为点到直线的距离求解．如图①，若圆上恰有一点到直线的距离为t，则需满足d＝r＋t.\n如图②，若圆上恰有三点到直线的距离为t，则需满足d＝r－t. 图①图②由图①②可知，若圆上恰有两个点到直线的距离为t，则需满足r－t＜d＜r＋t.若圆上恰有四点到直线的距离为t，则需满足d＜r－t.1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切B．相交C．相离D．不确定B [因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1，所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝有且只有两个公共点，则m的取值范围是．[1，) [画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝有两个公共点；当直线l与曲线相切时，m＝，因此当1≤m<时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝有且只有两个公共点．]考点二 圆与圆的位置关系 几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长．(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值．(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．[典例2] 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．[解] 两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，\n圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，＝＋.解得m＝25＋10.(2)法一：(作差法)由两式相减得8x＋6y－1－m＝0.又两圆相内切，∴－＝5，∴m＝25－10.∴所求公切线方程为4x＋3y＋5－13＝0.法二：(直接法)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值．故有－＝5，解得m＝25－10.因为kMN＝＝，所以两圆公切线的斜率是－.设切线方程为y＝－x＋b，则有＝.解得b＝±.容易验证，当b＝＋时，直线与圆x2＋y2－10x－12y＋m＝0相交，舍去．故所求公切线方程为y＝－x＋－，即4x＋3y＋5－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×＝2.\n点评：求两圆的公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d，半径长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离B [由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和3，大于两圆半径之差1，故两圆相交．]2．(2020·南通模拟)已知点A(0,2)，O(0,0)，若圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上存在点M，使·＝3，则圆心C的横坐标a的取值范围为．[0,3] [设M(x，y)，因为A(0,2)，O(0,0)，所以＝(－x,2－y)，＝(－x，－y)．因为·＝3，所以(－x)(－x)＋(2－y)(－y)＝3，化简得：x2＋(y－1)2＝4，所以M点的轨迹是以(0,1)为圆心，2为半径的圆．因为M在C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆必须相交或相切．所以1≤≤3，解得0≤a≤3.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0,3]．]考点三 直线、圆的综合问题 几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 切线问题[典例3－1] 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．\n[解] 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝＝－1，∴切线的斜率k＝－＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝＝，∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.点评：(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解，也可利用向量法求解：如图O是圆心，A是切点，P是切线l上任意一点，则·＝0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．提醒：过圆上一点有且只有一条切线，过圆外一点，一定有两条切线． 弦长问题\n[典例3－2] (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝.(1)B (2)4 [(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B．(2)由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.由|AB|＝2得＋()2＝12，解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，所以直线l的倾斜角α＝.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]点评：求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．提醒：对于已知弦长求直线方程的问题，若弦是直径有且只有一条，否则一定有两条．常因漏掉直线斜率不存在的情形致误，如本例(1)．\n 探索性问题[典例3－3] 已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心C(a,0)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．所以圆C：x2＋y2＝4.(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．点评：本例是探索性问题，求解的关键是把几何问题代数化，即先把条件“x轴平分∠ANB”等价转化为“直线斜率的关系：kAN＝－kBN”，然后借助方程思想求解．1．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A．1B．2C．D．3C [如图，切线长|PM|＝，显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离，即＝2时，|PM|最小为，故选C．]2．(2020·长春模拟)已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．3B．6C．4D．2D [将圆的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆心坐标为F(2，－1)，半径r＝\n，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|＝2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|＝＝，|BD|＝2＝2，∴S四边形ABCD＝|AC|×|BD|＝2.]3．已知圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2.(1)若直线l与圆O相切，求k的值；(2)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；(3)若k＝，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线CD是否过定点．[解] (1)∵圆O：x2＋y2＝2，直线l：y＝kx－2，直线l与圆O相切，∴圆心O(0,0)到直线l的距离等于半径r＝，即d＝＝，解得k＝±1.(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，当∠AOB为锐角时，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－＜k＜－1或1＜k＜.\n故k的取值范围为(－，－1)∪(1，)．(3)由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上．设P，以OP为直径的圆的方程为x(x－t)＋y＝0，∴x2－tx＋y2－y＝0，又C，D在圆O：x2＋y2＝2上，两圆作差得lCD：tx＋y－2＝0，即t－2y－2＝0，由得∴直线CD过定点.
