课后限时集训(五十) 直线与圆、圆与圆的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能C [直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．]2．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21B．19C．9D．－11C [圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.]3．(2020·全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A．1B．2C．3D．4B [将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心为C，则C(3,0)，半径r＝3.设点(1,2)为点A，过点A(1,2)的直线为l，因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1,2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD|min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.]4．(2020·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为( )A.B．C.D．B [因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a\n＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B.]5．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是( )A．(＋1，＋∞)B．(－1，＋1)C．(0，－1)D．(0，＋1)A [计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.]6．(多选)(2020·厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作圆C的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是( )A．1 B．2 C．3 D．4AB [∵x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4.∵过点P所作圆C的两条切线相互垂直，∴点P与圆心C，两切点构成一个边长为2的正方形，∴PC＝2，即点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝8，又点P在直线y＝k(x＋1)上，∴≤2，∴－2≤k≤2.即实数k的取值可以是1,2.]二、填空题7．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.2 [由题意知圆的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.]8．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝__________.－2 [如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝－2.∴圆心为(0，－2)，则半径r＝＝.]\n9．(2020·安庆模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则a的取值范围是________．(－∞，－]∪[，＋∞) [直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则|MC|≤2，只需|MC|min≤2，即圆C：x2＋y2＝1的圆心到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，即d＝≤2，解得a≤－或a≥.]三、解答题10．(2020·三明模拟)已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线与圆C相切？(2)当直线与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线的方程．[解] (1)圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，圆心C的坐标为(0,4)，半径长为2，当直线l与圆C相切时，则＝2，解得a＝－.(2)由题意知，圆心C到直线l的距离为d＝＝，由点到直线的距离公式可得d＝＝，整理得a2＋8a＋7＝0，解得a＝－1或－7.因此，直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.11．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．[解] (1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.又|O1O2|＝＝2，所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.设线段AB的中点为H，因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.又|O1H|＝＝，\n所以＝，解得r＝4或r＝20.所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1．(多选)(2020·山东滨州一中月考)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2bABC [由题意知，圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，将两圆的方程联立，可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2 ①，2ax2＋2by2＝a2＋b2 ②，①－②可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A，B是正确的；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C是正确的，选项D是不正确的.]2．(多选)(2020·山东威海一中月考)设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)．下列四个结论正确的是( )A．存在k，使圆与x轴相切B．存在一条直线与所有的圆均相交C．存在一条直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点ABD [根据题意得圆Ck的圆心为(1，k)，半径为k2.选项A，当k＝k2，即k＝1时，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，此时圆与x轴相切，故此选项正确；选项B，直线x＝1过圆Ck的圆心(1，k)，故直线x＝1与所有圆都相交，故此选项正确；选项C，圆Ck的圆心为(1，k)，半径为k2，圆Ck＋1的圆心为(1，k＋1)，半径为(k＋1)2，两圆的圆心距为1，两圆的半径之差为2k＋1，因为2k＋1>1，所以圆Ck含于圆Ck＋1之中，若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故此选项错误；选项D，将(0,0)代入圆Ck的方程，则有1＋k2＝k4，不存在k∈N*使上式成立，即所有的圆均不过原点，故此选项正确．]3．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求点M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．\n[解] (1)由x2＋y2－8y＝0得x2＋(y－4)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题意可得·＝0，即x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0.整理得(x－1)2＋(y－3)2＝2.所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.又kON＝3，故直线l的斜率为－，所以直线PM的方程为y－2＝－(x－2)，即x＋3y－8＝0.则O到直线l的距离为＝.又N到l的距离为＝，∴|PM|＝2＝.∴S△POM＝××＝.1．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是( )A.B．[0,1]C.D．A [因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3.由≥1得5a2－12a＋8≥0，\n解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.]2．(2020·海淀模拟)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切．(1)求圆O的方程；(2)直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．[解] (1)设圆O的半径长为r，因为直线x－y－4＝0与圆O相切，所以r＝＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：y＝kx＋3的距离d＝|OM|＝1.所以＝1，解得k2＝8，即k＝±2，经验证满足条件．所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为±2.
