课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.已知直线x+y=0与圆(x-1)2+(y-b)2=2相切,则b等于( ) A.-3B.1C.-3或1D.522.(2020湖南常德一模,文8)已知圆x2+y2-2x+2y+a=0截直线x+y-4=0所得弦的长度小于6,则实数a的取值范围为( )A.(2-17,2+17)B.(2-17,2)C.(-15,+∞)D.(-15,2)3.(2020广东惠州模拟)圆(x-3)2+(y+2)2=4与圆(x-7)2+(y-1)2=36的位置关系是( )A.相切B.内含C.外离D.相交4.过点P(1,1)的直线l将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,其面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时,直线l的方程是( )A.x+y-2=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0D.x+y-1=05.已知直线l:x-3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π3,则实数a的值等于( )A.2或10B.4或8C.6±22D.6±236.过直线l:y=x-2上任意点P作圆C:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,当切线长最小时,△PAB的面积为 . 7.(2020浙江绍兴阳明中学高三期中)已知P(x,y)是直线kx+y-3=0(k≠0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是1,则k的值是 . 8.(2020山西太原五中高三月考)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心C到直线x+y-m=0(m∈R)的距离小于22.(1)求m的取值范围;(2)判断圆C与圆D:x2+y2-2mx=0的位置关系.\n综合提升组9.(2020陕西榆林一模,理10)已知m>0,n>0,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则m+n的取值范围是( )A.[2+22,+∞)B.[22-2,+∞)C.[2,2+22]D.(0,2+22]10.(2020陕西榆林高三调研)已知点P(t,t-1),t∈R,E是圆x2+y2=14上的动点,F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( )A.2B.52C.3D.411.(2020山东临沂调研)已知圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9.点M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是( )A.25+4B.9C.7D.25+212.已知圆C:(x-2)2+y2=2,直线l:y=kx-2,若直线l上存在点P,过点P引圆的两条切线l1,l2,使得l1⊥l2,则实数k的取值范围是 . 13.(2020山东潍坊一中月考)已知直线l:x-y+3=0被圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)截得的弦长为22,求:(1)a的值;(2)过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.创新应用组14.在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ长最小时,k=( )A.2B.3C.22D.515.(2020江苏南京师大附中高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在y轴上的圆C经过两点M(0,2),N(1,3),直线l的方程为y=kx.(1)求圆C的方程;(2)当k=1时,Q为直线l上的定点,若圆C上存在唯一一点P满足|PO|=2|PQ|,求定点Q的坐标;(3)设A,B为圆C上任意两个不同的点,若以AB为直径的圆与直线l都没有公共点,求实数k的取值范围.\n参考答案课时规范练44 直线与圆、圆与圆的位置关系1.C 由圆心到切线的距离等于半径,得|1+b|12+12=2,∴|1+b|=2,∴b=1或b=-3,故选C.2.D 由题意知,圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2-a,则圆心为(1,-1),半径为2-a,则2-a>0,解得a<2,圆心到直线x+y-4=0的距离为d=|1-1-4|2=22,所以(2-a)2-(22)2<32,解得a>-15,综上所述,a的取值范围为(-15,2).故选D.3.D 依题意,两圆的圆心坐标分别为(3,-2),(7,1),半径分别为2,6,则两圆的圆心距为(7-3)2+(1+2)2=5.因为6-2<5<6+2,所以两圆相交.故选D.4.A 因为点P坐标满足x2+y2≤4,所以点P在圆x2+y2=4内,因此,当OP与过点P的直线垂直时,|S1-S2|最大,此时直线OP的斜率为kOP=1-01-0=1,所以直线l的斜率为k=-1,因此,直线l的方程是y-1=-(x-1),整理得x+y-2=0.故选A.5.B 由∠MPN=π3可得∠MCN=2∠MPN=2π3.在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=π6,可得点C(3,-3)到直线MN,即直线l:x-3y-a=0的距离为2sinπ6=1.所以|3-3×(-3)-a|1+3=1,解得a=4或8.故选B.6.12 依据题意作出图像,如下图:因为直线PA过点P且与圆x2+y2=1相切于点A,所以PA⊥OA,所以|PA|=OP2-OA2=OP2-1,要使得PA最小,则OP要最小,由题可得OP的最小值就是点O到直线l:y=x-2的距离d=|0-2-0|12+12=2.此时,|PA|min=OPmin2-1=(2)2-1=1,所以∠OPA=π4,由切线的对称性可得∠BPA=π2,|PB|=1,所以△PAB的面积为S△PAB=12×1×1=12.7.±1 圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是C(0,1),半径是1.由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC,因为四边形PACB的最小面积是1,所以△PBC的最小面积是12.又S△PBC=12|PB|·|BC|=12|PB|,所以|PB|min=1,所以|PC|min=12+12=2.\n所以圆心C到直线kx+y-3=0的距离为2k2+1=2,解得k=±1.8.解(1)由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,故圆心C(1,1).由圆心C(1,1)到直线x+y-m=0(m∈R)的距离d=|1+1-m|2<22,解得1<m<3,故m的取值范围为(1,3).(2)由(1)知圆C的圆心C(1,1),半径r1=1.因为圆D:x2+y2-2mx=0的圆心D(m,0),半径r2=m,所以两圆的圆心距|CD|=(m-1)2+1.因为1<m<3,所以m-1<(m-1)2+1<m+1,所以圆C与圆D相交.9.A 将圆的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=1,该圆的圆心坐标为(1,1),半径为1,由于直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则|m+n|(m+1)2+(n+1)2=1,化简得m+n+1=mn,由基本不等式,可得m+n+1=mn≤m+n22,即(m+n)2-4(m+n)-4≥0,当且仅当m=n时,等号成立,因为m>0,n>0,所以m+n>0,解得m+n≥2+22.因此,m+n的取值范围是[2+22,+∞).故选A.10.D 如图.依题意得点P(t,t-1),t∈R在直线y=x-1上,设点E关于直线y=x-1对称的点为E',则点E'在圆x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1:(x-1)2+(y+1)2=14上,则|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤|E'F|,当点P,E',F三点共线时取等号.又|E'F|≤|O1E'|+|O1O2|+|O2F|=12+2+32=4,当点O1,O2在线段E'F上时取等号.故|PF|-|PE|的最大值为4.11.B 圆C1:(x-1)2+(y+1)2=1的圆心E(1,-1),半径为1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9的圆心F(4,5),半径为3.要使|PN|-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,|PN|最大值为|PF|+3,|PM|的最小值为|PE|-1,故|PN|-|PM|的最大值是(|PF|+3)-(|PE|-1)=|PF|-|PE|+4.F(4,5)关于x轴的对称点F'(4,-5),|PF|-|PE|=|PF'|-|PE|≤|EF'|=(4-1)2+(-5+1)2=5,故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9.\n12.[0,+∞) 圆心为C(2,0),半径r=2,设P(x,y),因为两切线l1⊥l2,如下图,PA⊥PB,由切线性质定理,知PA⊥AC,PB⊥BC,PA=PB,所以,四边形PACB为正方形,所以|PC|=2,则点P满足(x-2)2+y2=4,即点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆.直线l:y=kx-2过定点(0,-2),直线方程即kx-y-2=0,只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可,即大圆的圆心到直线l的距离小于等于半径,即d=|2k-2|k2+1≤2,解得k≥0,即实数k的取值范围是[0,+∞).13.解(1)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2,则圆心到直线l:x-y+3=0的距离d=|a-2+3|12+(-1)2=|a+1|2,由勾股定理可知d2+2222=r2,将r=2,d=|a+1|2代入,化简得|a+1|=2,解得a=1,或a=-3,又a>0,所以a=1.(2)由(1)知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,又(3,5)在圆外,①当切线的斜率存在时,设切线方程为y-5=k(x-3),即kx-y-3k+5=0.由圆心到切线的距离d=r=2,得|k-2-3k+5|k2+1=2,解得k=512,所以切线方程为5x-12y+45=0.②当过(3,5)的切线斜率不存在,易知直线x=3与圆相切.综上可知,切线方程为5x-12y+45=0或x=3.14.A 如图,因为PQ为圆C2的切线,所以PQ⊥C2Q,由勾股定理,得|PQ|=PC22-1,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小,显然当点P为C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小,此时,|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|就最小,|C1C2|=k2+(-k+4)2=2(k-2)2+8≥22,当k=2时,|C1C2|最小,得到|PQ|最小,故选A.15.解(1)设圆C的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),将M,N的坐标代入该方程,得02+(2-b)2=r2,12+(3-b)2=r2,解得b=3,r=1.所以圆C的方程为x2+(y-3)2=1.(2)设点Q(t,t),P(x,y),由|PO|=2|PQ|,得x2+y2=2·(x-t)2+(y-t)2,即(x-2t)2+(y-2t)2=4t2,\n由题意,可知此圆与圆C相切,故(0-2t)2+(3-2t)2=||2t|±1|,解得t=2±2.所以点Q的坐标为(2+2,2+2)或(2-2,2-2).(3)记以AB为直径的圆为圆M,设圆M上有一动点P0(x0,y0),设|CM|=d(0≤d<1),则圆M的半径rM=12|AB|=1-d2,于是|CP0|=(CM+MP0)2 =d2+(1-d2)+2CM·MP0 =1+2|CM||MP|cosθ ,其中θ为CM,MP0的夹角,θ∈[0,π].又|CM||MP0|=d1-d2=d2(1-d2)∈0,12,所以|CP0|∈[0,2].所以点P0在以C(0,3)为圆心,2为半径的圆的内部(含边界).又以AB为直径的圆与直线l没有公共点,所以点C到直线l的距离d>2,即31+k2>2,解得-142<k<142.所以k的取值范围为-142,142.
