课时规范练43 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.对任意的实数k,直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0的位置关系是( ) A.相离B.相切C.相交D.以上三个选项均有可能2.设曲线C的方程为(x-2)2+(y+1)2=9,直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线上的点到直线l的距离为71010的点的个数为( )A.1B.2C.3D.43.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=( )A.21B.19C.9D.-114.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离5.(2022山东潍坊二模,文7)已知圆C1:(x+6)2+(y+5)2=4,圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1,M,N分别为圆C1和C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.7B.8C.10D.136.(2022福建宁德一模,文10)已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为( )A.1B.2C.3D.47.直线y=-33x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是( )A.(3,2)B.(3,3)C.33,233D.1,233〚导学号24190781〛8.(2022福建泉州一模,文15)过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为 . 9.设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=23,则圆C的面积为 . 10.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .〚导学号24190782〛 综合提升组11.(2022安徽合肥一模,文9)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=23,则直线l的方程为( )6\nA.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=012.(2022河南洛阳一模,文9)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|OA+OB|≥33|AB|,则k的取值范围是( )A.(3,+∞)B.[2,+∞)C.[2,22)D.[3,22)13.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点分别为P,Q,则直线PQ的方程为 . 14.已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.〚导学号24190783〛创新应用组15.已知圆心为C的圆满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为23,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.答案：1.C 直线y=kx-1恒经过点A(0,-1),02+(-1)2-2×0-2=-1<0,则点A在圆内,故直线y=kx-1与圆x2+y2-2x-2=0相交,故选C.6\n2.B 由方程(x-2)2+(y+1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r=3,则圆心到直线l的距离d=|2+3+2|1+(-3)2=710=71010.由71010>12r=32,故所求点的个数为2.3.C 圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=1,圆C2的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圆心C2(3,4),半径r2=25-m,从而|C1C2|=32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即1+25-m=5,解得m=9,故选C.4.B 圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d=|0+a|12+12=22a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2R2-d2=2a2-22a2=2a,由题意可得2a=22,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.5.A 圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A(-6,-5),半径为2,圆C2的圆心坐标(2,1),半径为1,|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和,即(-6-2)2+(-5-1)2-3=7.故选A.6.D ∵圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,∴圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.7.D 当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d=|m|1+332=1,解得m=233(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<233.8.-53 因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),6\n所以直线P'Q的方程为y=-1-3-a·(x-a),即x-(3+a)y-a=0,圆心(0,0)到直线的距离d=|-a|1+(3+a)2=1,∴a=-53.9.4π 圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,所以圆心坐标为(0,a),半径r2=a2+2,圆心到直线的距离d=|a|2.由已知(3)2+a22=a2+2,解得a2=2,故圆C的面积为π(2+a2)=4π.10.4±15 由△ABC为等边三角形可得,C到AB的距离为3,即(1,a)到直线ax+y-2=0的距离d=|a+a-2|1+a2=3,即a2-8a+1=0,可求得a=4±15.11.B 当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=0,代入圆的方程得y=1±3,∴|AB|=23,成立.当l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,圆半径r=124+4+8=2,圆心C(1,1)到直线y=kx+3的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1.∵d2+|AB|22=r2,∴(k+2)2k2+1+3=4,解得k=-34,∴l的方程为3x+4y-12=0.故选B.12.C 设AB中点为D,则OD⊥AB,∵|OA+OB|≥33|AB|,∴2|OD|≥33|AB|,∴|AB|≤23|OD|.∵|OD|2+14|AB|2=4,∴|OD|2≥1.∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,6\n∴|OD|2<4.∴4>|OD|2≥1,∴4>|-k|22≥1.∵k>0,∴2≤k<22,故选C.13.2x+3y-4=0 以O(0,0),A(2,3)为直径端点的圆的方程为x(x-2)+y(y-3)=0,即x2+y2-2x-3y=0,与圆C:x2+y2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ的方程为2x+3y-4=0.14.解(1)因为圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=mx,M(x0,y0).由x2+y2-6x+5=0,y=mx得(1+m2)x2-6x+5=0,则Δ=36-20(1+m2)>0,解得-255<m<255,故x0=31+m2,且53<x0≤3.因为m=y0x0,所以x0=31+y0x02,整理得x0-322+y02=94.所以M的轨迹C的方程为x-322+y2=9453<x≤3.(3)存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.由(2)得M的轨迹C为一段圆弧,其两个端点为P53,253,Q53,-253,直线L:y=k(x-4)过定点E(4,0),①kPE=25353-4=-257,kQE=-25353-4=257,当-257≤k≤257时,直线L与曲线C只有一个交点.②当直线L与曲线C相切时,L的方程可化为kx-y-4k=0,则32k-4kk2+1=32,解得k=±34.6\n综上所述,当-257≤k≤257或k=±34时,直线L与曲线C只有一个交点.15.解(1)设圆C:(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意知|3a+7|32+42=r,a2+3=r,解得a=1或a=138.又S=πr2<13,∴a=1,∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时,直线l为x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又l与圆C相交于不同的两点,联立得y=kx+3,(x-1)2+y2=4,消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0,解得k<1-263或k>1+263.x1+x2=-6k-21+k2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2,OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),假设OD∥MC,则-3(x1+x2)=y1+y2,解得k=34∉-∞,1-263∪1+263,+∞,假设不成立,∴不存在这样的直线l.6
