利用导数解决函数的单调性问题[考试要求] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在(a，b)内f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )(2)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．( )(3)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×二、教材习题衍生1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )\nA．在区间(－3,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C [由图象可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减 B．先减后增C．增函数D．减函数D [因为f′(x)＝－sinx－1＜0在(0，π)上恒成立，所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D．]3．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．(0,1] [函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，由f′(x)＝1－≤0，得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的最大值是________．3 [f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又因为x∈[1，＋∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.]考点一 不含参数的函数的单调性 求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间．(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．1．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( )A B\nC DA [设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，则g′(x)＝2－2cosx≥0.所以函数f′(x)在R上单调递增，故选A．]2．(2020·河北九校联考)函数y＝x＋＋2lnx的单调递减区间是( )A．(－3,1)B．(0,1)C．(－1,3)D．(0,3)B [y′＝1－＋＝(x＞0)，令y′＜0得，解得0＜x＜1，故选B．]3．(2019·天津高考改编)函数f(x)＝excosx的单调递增区间为________．(k∈Z) [f′(x)＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)，令f′(x)＞0得cosx＞sinx，∴2kπ－π＜x＜2kπ＋，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．]点评：(1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降．(2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．考点二 含参数的函数的单调性解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．[典例1] 已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．[解] (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增．\n②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a＜0，则由f′(x)＝0得x＝ln.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增．(2)①若a＝0，则f(x)＝e2x，所以f(x)≥0.②若a＞0，则由(1)得，当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a2lna，从而当且仅当－a2lna≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.③若a＜0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，从而当且仅当a2≥0，即－2e≤a＜0时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e，1]．点评：要使f(x)≥0，只需f(x)min≥0；要使f(x)≤0，只需f(x)max≤0.已知函数f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x.若a＞0，试讨论函数f(x)的单调性．[解] 因为f(x)＝lnx＋ax2－(2a＋1)x，所以f′(x)＝＝，由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0得x＝1或x＝，(1)若＜1，即a＞，\n由f′(x)＞0得x＞1或0＜x＜，由f′(x)＜0得＜x＜1，即函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减；(2)若＞1，即0＜a＜，由f′(x)＞0得x＞或0＜x＜1，由f′(x)＜0得1＜x＜，即函数f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；(3)若＝1，即a＝，则在(0，＋∞)上恒有f′(x)≥0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上可得：当0＜a＜时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＞时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．考点三 已知函数的单调性求参数的取值范围 由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函数在区间D上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间D上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令D是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[典例2] 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；\n(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．[解] (1)h(x)＝lnx－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，即a＞－有解．设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．而G(x)＝－1，所以G(x)min＝－1.所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)由h(x)在[1,4]上单调递减得，当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥－恒成立．所以a≥G(x)max，而G(x)＝－1，因为x∈[1,4]，所以∈，所以G(x)max＝－(此时x＝4)，所以a≥－且a≠0，即a的取值范围是∪(0，＋∞)．[母题变迁]1．本例条件不变，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．[解] h(x)在[1,4]上存在单调递减区间，则h′(x)＜0在[1,4]上有解，所以当x∈[1,4]时，a＞－有解，\n又当x∈[1,4]时，min＝－1，所以a＞－1且a≠0，即a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．2．本例条件不变，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上不单调，求a的取值范围．[解] 因为h(x)在[1,4]上不单调，所以h′(x)＝0在(1,4)上有解，即a＝－有解，令m(x)＝－，x∈(1,4)，则－1＜m(x)＜－，所以实数a的取值范围为.点评：注意区分在区间[a，b]上单调递增(减)和在区间[a，b]上存在单调递增(减)区间这两种说法，一个转化为不等式恒成立，一个转化为不等式有解．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b.(1)若f(x)与g(x)的图象在x＝1处相切，求g(x)；(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．[解] (1)由已知得f′(x)＝，所以f′(1)＝1＝a，所以a＝2.又因为g(1)＝a＋b＝f(1)＝0，所以b＝－1.所以g(x)＝x－1.(2)因为φ(x)＝－f(x)＝－lnx在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，因为x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，\n所以2m－2≤2，即m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2]．考点四 函数单调性的应用 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→. 比较大小[典例3－1] (1)已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b(2)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)·cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是( )A．f＜fB．f＞fC．f＞fD．f＞f(1)D (2)B [(1)设g(x)＝，则g′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则g′(x)＝＜0，即函数g(x)在x∈(0，＋∞)时为减函数．由函数y＝f(x)为奇函数知f(－3)＝－f(3)，则c＝＝.∵a＝＝g(e)，b＝＝g(ln2)，c＝＝g(3)\n且3＞e＞ln2，∴g(3)＜g(e)＜g(ln2)，即c＜a＜b，故选D．(2)设g(x)＝，则g′(x)＝＝，x∈.令g′(x)＝0得x＝，当x∈时g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，当x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增．∵＜＜＜＜，∴g＜g＜g，即＞＞，化简得f＞f，f＞f，f＞f，故选B．] 解不等式[典例3－2] (1)已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)(2)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．(1)B (2) [(1)由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B．(2)因为f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2≥0，所以函数f(x)在R上单调递增．\n又f(a－1)＋f(2a2)≤0，所以f(2a2)≤f(1－a)，所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围为.]点评：构造函数F(x)，把所求不等式转化为F(a)＞F(b)或F(a)＜F(b)的形式，然后根据F(x)的单调性得到a＞b或a＜b.1．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立，则( )A．4f(1)＜f(2)B．4f(1)＞f(2)C．f(1)＜4f(2)D．f(1)＞4f′(2)B [令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝，由不等式xf′(x)＜2f(x)恒成立知g′(x)＜0，即g(x)在(0，＋∞)是减函数，∴g(1)＞g(2)，即＞，即4f(1)＞f(2)，故选B．]2．设f(x)和g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)分别为其导数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)D [令h(x)＝f(x)g(x)，当x＜0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，则h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(3)＝0，所以当x＜－3或0＜x＜3时，h(x)＜0，故选D．]3．已知f′(x)是定义在R上的连续函数f(x)的导函数，若f′(x)－2f(x)＜0，且f(－1)＝0，则f(x)＞0的解集为( )A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(－∞，0)D．(－1，＋∞)A [设g(x)＝，则g′(x)＝＜0在R上恒成立，所以g(x)在R上单调递减．因为f(x)＞0，所以g(x)＞0，又g(－1)＝0，所以x＜－1.]备考技法2 导数中的函数构造问题函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现.\n利用f(x)与xn构造函数1．若F(x)＝xnf(x)，则F′(x)＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)＝xn－1[nf(x)＋xf′(x)]；2．若F(x)＝，则F′(x)＝＝；由此得到结论：(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. (1)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．(2)设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为________．(1)(－1,0)∪(0,1) (2)(－∞，－∪(0,4) [(1)构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＞0时，xf′(x)－2f(x)＜0，可以推出当x＞0时，F′(x)＜0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)．(2)构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)＜0，可以推出当x＜0时，F′(x)＜0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象如图所示，根据图象可知xf(x)＞0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．]\n[评析] 构造函数后可根据条件判断构造函数的单调性、奇偶性，画出相应函数的图象，再根据图象写出解集．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x＜0时，有xf′(x)－f(x)＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为________．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，可以推出当x＜0时，F′(x)＞0，F(x)在(－∞，0)上单调递增．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递增．根据f(1)＝0可得F(1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象，根据图象可知f(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]利用f(x)与ex构造函数1．若F(x)＝enxf(x)，则F′(x)＝n·enxf(x)＋enxf′(x)＝enx[f′(x)＋nf(x)]；2．若F(x)＝，则F′(x)＝＝；由此得到结论：(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若f(x)满足：(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，f(2－x)＝f(x)·e2－2x，则下列判断一定正确的是( )A．f(1)＜f(0)B．f(2)＞e2f(0)C．f(3)＞e3f(0)D．f(4)＜e4f(0)C [构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，导函数f′(x)满足(x－1)[f′(x)－f(x)]＞0，\n则x＞1时F′(x)＞0，F(x)在[1，＋∞)上单调递增．当x＜1时F′(x)＜0，F(x)在(－∞，1]上单调递减．又由f(2－x)＝f(x)e2－2x⇔F(2－x)＝F(x)⇒F(x)关于x＝1对称，从而F(3)＞F(0)即＞，∴f(3)＞e3f(0)，故选C．][评析] 构造函数时，要注意F(x)＝与F(x)＝，F(x)＝xnf(x)与F(x)＝enxf(x)的构造条件．若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，f(0)＝1，则不等式f(x)＞e2x的解集为________．(0，＋∞) [构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，函数f(x)满足f′(x)－2f(x)＞0，则F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．又∵f(0)＝1，则F(0)＝1，f(x)＞e2x⇔＞1⇔F(x)＞F(0)，根据单调性得x＞0.]利用f(x)与sinx，cosx构造函数sinx，cosx因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，下面是常考的几种形式．F(x)＝f(x)sinx，F′(x)＝f′(x)sinx＋f(x)cosx；F(x)＝，F′(x)＝；F(x)＝f(x)cosx，F′(x)＝f′(x)cosx－f(x)sinx；F(x)＝，F′(x)＝. 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是( )A．f＜fB．f＜fC．f(0)＜fD．f(0)＜2fA [构造F(x)＝形式，\n则F′(x)＝，导函数f′(x)满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＞0，则F′(x)＞0，F(x)在上单调递增．∴F＜F，即＜，∴f＞f，故选A．][评析] 准确记忆函数F(x)＝f(x)sinx，F(x)＝f(x)cosx，F(x)＝，F(x)＝的导数，是构造函数的前提．定义在上的函数f(x)，函数f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tanx成立，则( )A．f＞fB．f(1)＜2fsin1C．f＞fD．f＜fD [f(x)＜f′(x)tanx⇔f′(x)sinx－f(x)cosx＞0，令F(x)＝，则F′(x)＝＞0，即函数F(x)在上是增函数，∴F＜F，即＜，∴f＜f，故选D．]构造具体函数关系式这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题． 已知α，β∈，且αsinα－βsinβ＞0，则下列结论正确的是( )\nA．α＞βB．α2＞β2C．α＜βD．α＋β＞0B [构造函数f(x)＝xsinx，则f′(x)＝sinx＋xcosx.当x∈时，f′(x)≥0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，又f(x)为偶函数，∴αsinα－βsinβ＞0⇔αsinα＞βsinβ⇔f(α)＞f(β)⇔f(|α|)＞f(|β|)⇔|α|＞|β|⇔α2＞β2，故选B．][评析] 认真分析题目所给条件，寻找(或变形后寻找)结构相同的式子，结合所求构造函数．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对∀x∈R，f′(x)＜，则不等式f(log2x)＞的解集为________．(0,2) [构造函数F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－＜0，∴函数F(x)在R上是减函数．由f(1)＝1，得F(1)＝f(1)－＝1－＝，∴f(log2x)＞⇔f(log2x)－log2x＞⇔F(log2x)＞F(1)⇔log2x＜1⇔0＜x＜2.]
