第六章 数 列第二讲 等差数列及其前n项和练好题·考点自测1.下面结论正确的个数为( )(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列. A.1B.2C.3D.42.[2020全国卷Ⅱ,4,5分]北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块3.[2020北京,8,4分]在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn}( )A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项4.[2020山东,14,5分]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为 . 5.[2019北京,10,5分]设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5= ,Sn的最小值为 . 6.[2019江苏,8,5分]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 . 7.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则该数列的公差d= . 拓展变式1.[2020石家庄二检]已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an-1-an=an-1·an.(1)求证:数列{1an}是等差数列.(2)设bn=a2n-1·a2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<12.\n2.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=( )A.3B.4C.5D.6(2)在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=( )A.12B.18C.24D.303.(1)[2021贵阳市摸底测试]等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=51,则2a10-a11=( )A.2B.3C.4D.6(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若m>1,且am-1+am+1-am2-1=0,S2m-1=39,则m等于( )A.39B.20C.19D.10(3)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若SnTn=2n3n+1,则a11b11= . 4.[2018全国卷Ⅱ,17,12分][文]记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.答案第六章 数 列第二讲 等差数列及其前n项和1.B 对于(1),若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数,则这个数列是等差数列,故(1)错误;对于(2),由2an+1=an+an+2得an+1-an=an+2-an+1,故(2)正确;对于(3),数列{an}为等差数列的充分不必要条件是其通项公式为n的一次函数,故(3)错误;对于(4),由等差数列与一次函数的关系可得(4)正确.故选B.2.C 由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},设数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,易知其首项a1=9,d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以\n2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=2n(9+18n)2-2×n(9+9n)2=9n2=729,得n=9,所以三层共有扇面形石板的块数为S3n=3n(9+27n)2=3×9×(9+27×9)2=3402,故选C.【解后反思】 解答本题的突破点:(1)由材料联想到从天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列;(2)利用等差数列前n项和的性质,知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成一个等差数列.3.B 设等差数列{an}的公差为d,∵a1=-9,a5=-1,∴a5=-9+4d=-1,∴d=2,∴an=-9+(n-1)×2=2n-11.令an=2n-11≤0,则n≤5.5.∴n≤5时,an<0;n≥6时,an>0.∴T1=-9<0,T2=(-9)×(-7)=63>0,T3=(-9)×(-7)×(-5)=-315<0,T4=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)=945>0,T5=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)=-945<0,当n≥6时,an>0,且an≥1,∴Tn+1<Tn<0,∴Tn=a1a2…an(n=1,2,…)有最大项T4,无最小项,故选B.4.3n2-2n 设bn=2n-1,cn=3n-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,得n=3m-12=3m-3+22=3(m-1)2+1,于是m-1=2k,k∈N,所以m=2k+1,k∈N,则ak=3(2k+1)-2=6k+1,k∈N,得an=6n-5,n∈N*.故Sn=1+6n-52×n=3n2-2n.【易错警示】 本题易犯令bn=cn求n的错误,错误在于这样求解的前提是两个等差数列公共项的位置相同,且项数也相同,与题意不符.5.0 -10 设等差数列{an}的公差为d,∵a2=-3,S5=-10,即a1+d=-3,5a1+10d=-10,可得a1=-4,d=1,∴a5=a1+4d=0.∵Sn=na1+n(n-1)2d=12(n2-9n),∴当n=4或n=5时,Sn取得最小值,最小值为-10.6.16 解法一 设等差数列{an}的公差为d,则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=a12+4d2+5a1d+a1+7d=0,S9=9a1+36d=27,解得a1=-5,d=2,则S8=8a1+28d=-40+56=16.解法二 设等差数列{an}的公差为d.S9=9(a1+a9)2=9a5=27,a5=3,又a2a5+a8=0,则3(3-3d)+3+3d=0,得d=2,所以a4=3-2=1,则S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)=4×(1+3)=16.7.5 设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,等差数列的公差为d.由已知条件,得S奇+S偶=354,S偶∶S奇=32∶27,解得S偶=192,S奇=162.又S偶-S奇=6d,所以d=192-1626=5.1.(1)当n≥2时,an-1-an=an-1·an,两边同时除以an-1·an,得1an-1an-1=1,由a1=1,得1a1=1,故数列{1an}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知an=1n,所以bn=12n-1·12n+1=(2n+1)-(2n-1)2(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以Tn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1).因为12n+1>0,所以Tn<12.\n2.(1)C 解法一 由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1,由am=a1+(m-1)d=2,Sm=a1m+12m(m-1)d=0,得a1+m-1=2,a1m+12m(m-1)=0,解得a1=-2,m=5,故选C.解法二 由题意,知Sm=m(a1+am)2=0,所以a1=-am=-(Sm-Sm-1)=-2,所以am=2,a1=-2.又am+1=Sm+1-Sm=3,所以公差d=am+1-am=1,所以3=am+1=a1+md=-2+m,所以m=5.故选C.解法三 ∵数列{an}为等差数列,且其前n项和为Sn,∴数列{Snn}也为等差数列.∴Sm-1m-1+Sm+1m+1=2Smm,即-2m-1+3m+1=0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.(2)C 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,因为a5+a10=12,所以2a1+13d=12,所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×12=24.3.(1)B 解法一 ∵S17=51,∴17(a1+a17)2=51,可得a1+a17=6=2a9,解得a9=3,∴2a10-a11=a9+a11-a11=a9=3.故选B.解法二 由S17=17a9=51,得a9=3,则2a10-a11=a9+a11-a11=a9=3.故选B.(2)B 数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1-am2-1=0可化为2am-am2-1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,则m=20.故选B.(3)2132 由等差数列前n项和的性质得a11b11=S21T21=2×213×21+1=2132.4.(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
