第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线x－y－4＝0相切，则圆O的方程为( )A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝3C．x2＋y2＝2D．x2＋y2＝1解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y－4＝0的距离，即r＝＝2，得圆O的方程为x2＋y2＝4.2．(2022·泉州质检)若直线3x－4y＝0与圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0相交于A，B两点，则弦AB的长为( )A．2B．4C．2D．4解析：选D.圆x2＋y2－4x＋2y－7＝0的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝12，则圆心为(2，－1)，半径r＝2，又圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝＝2，所以弦AB的长为2＝2＝4.3．(2022·甘肃省诊断考试)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是( )A．内含B．内切C．相交D．外切解析：选C.由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.4．(2022·高考安徽卷)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12解析：选D.法一：由3x＋4y＝b，得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12.5．(2022·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，点M(t，2)，若C上存在两点A，B满足＝，则t的取值范围是( )A．[－2，2]B．[－3，3]C．[－，]D．[－5，5]解析： 选C.如图，连接OM交圆于点D.5\n因为＝，所以A是MB的中点，因为圆x2＋y2＝1的直径是2，所以MA＝AB≤2.又因为MD≤MA，OD＝1，所以OM≤3.即点M到原点的距离小于等于3，所以t2＋4≤9，所以－≤t≤.6．(2022·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为( )A．3B.C．2D．2解析：选D.圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0，1)，半径是r＝1，因为PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离为，由点到直线的距离公式可得＝，因为k＞0，所以k＝2，故选D.7．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为________．解析：设A(a，0)，由题意可得A，P，C，Q四点共圆，且AC是该圆的一条直径，记该圆的圆心为D，则圆D的方程为x2＋y2－ax－3y＝0.易知PQ是圆C和圆D的公共弦，又圆C的方程为x2＋y2－6y＋7＝0，所以两圆方程相减可得PQ：ax－3y＋7＝0，则圆心C到直线PQ的距离d＝，又a2≥0，所以d∈，所以|PQ|＝2∈.答案：8．(2022·云南省统一检测)已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的图像在切点P(1，－2)处的切线与圆(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________．解析：由题意得f(1)＝－2⇒a－2b＝－3，又因为f′(x)＝3x2＋a，所以f(x)的图像在点(1，－2)处的切线方程为y＋2＝(3＋a)(x－1)，即(3＋a)x－y－a－5＝0，所以＝⇒a＝－，所以b＝，所以3a＋2b＝－7.答案：－79．(2022·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．解析：四边形PACB的面积可表示为S＝2××|PA|×1＝|PA|＝，故当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小．而|PC|的最小值是点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，此时|PC|＝3，故Smin＝2.答案：210．过直线x＋y－2＝0上的点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：因为点P在直线x＋y－2＝0上，所以可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.5\n因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有|OP|＝2|OM|＝2.由两点间的距离公式得|OP|＝＝2，解得x0＝.故点P的坐标是(，)．答案：(，)11．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．解：(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则＝，所以b＝1±2，所以切线方程为x＋y＋1±2＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝，所以m＝±5，所以切线方程为2x＋y±5＝0.(3)因为kAC＝＝，所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)， 即3x＋y－11＝0.1．(2022·南昌模拟)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB＝1时，直线l的倾斜角为( )A．150°B．135°C．120°D．不存在解析：选A.由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的半圆，其图像如图所示．设过点P(2，0)的直线为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，弦长|AB|＝2＝2，所以S△AOB＝××2＝1，5\n解得k2＝，由图可得k＝－，故直线l的倾斜角为150°.2．(2022·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所以＜1，解得＜k＜.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.由题设可得＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.3．已知曲线C的方程为：ax2＋ay2－2a2x－4y＝0(a≠0，a为常数)．(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|＝|ON|，求曲线C的方程．解：(1)将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－y＝0⇒(x－a)2＋＝a2＋，可知曲线C是以点为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y＝0，得ax(x－2a)＝0，得点A(2a，0)，在曲线C方程中令x＝0，得y(ay－4)＝0，得点B，所以S＝|OA|·|OB|＝·|2a|·＝4.(定值)(3)因为圆C过坐标原点，且|OM|＝|ON|，所以OC⊥MN，所以＝，所以a＝±2，5\n当a＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆的半径为，圆心到直线l：y＝－2x＋4的距离d＝＝＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，a＝2时符合题意．这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.5
