课后限时集训(五十七) 圆锥曲线中的定点、定值问题建议用时：40分钟1．(2020·兰州模拟)已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．[解] (1)由已知，动点E到定点D(1,0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1,0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0，Δ＝16(k－1)2>0，已知此方程一个根为1，∴x1×1＝＝，即x1＝，同理x2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝－＝－，∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·－2k＝，∴kAB＝＝＝－1，∴直线AB的斜率为定值－1.2．(2020·江西九江三校6月考前模拟)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)2＋y2＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与圆C2相切．(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上(不与坐标原点O重合)，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设＝＋，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程．[解] (1)由题意得，直线l1的斜率k1＝tan45°＝1，抛物线C1的焦点为，则直线l1的方程为y＝x＋.\n因为l1与C2相切，所以圆心C2(－1,0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝＝，解得p＝6.(2)法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y，即y＝，求导得y′＝.设A(x1，y1)(x1≠0)，则以A为切点的切线l2的斜率k2＝，所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.令x＝0，则y＝－x＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即点B的坐标为(0，－y1)．则＝(x1－m，y1＋3)，＝(－m，－y1＋3)，所以＝＋＝(x1－2m,6)，连接ON，OM(图略)，则＝＋＝(x1－m,3)．设点N的坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x2＝12y.①设直线l2的斜率为k2，A(x1≠0)，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k2(x－x1)＋x.②联立①②得消去y并整理得x2－12k2x＋12k2x1－x＝0.由Δ＝(12k2)2－4(12k2x1－x)＝0，求得k2＝.所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x.令x＝0，得点B的坐标为，则＝，＝，所以＝＋＝(x1－2m,6)，连接ON，OM(图略)，则＝＋＝(x1－m,3)．设点N的坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．3．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．[解] (1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)．则＝(a,1)，＝(a，－1)．由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.所以E的方程为＋y2＝1.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，\n由题意可知－3<n<3.由于直线PA的方程为y＝(x＋3)，所以y1＝(x1＋3)．直线PB的方程为y＝(x－3)，所以y2＝(x2－3)．可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)．由于＋y＝1，故y＝－，可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，即(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0. ①将x＝my＋n代入＋y2＝1得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.所以y1＋y2＝－，y1y2＝.代入①式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.解得n＝－3(舍去)或n＝.故直线CD的方程为x＝my＋，即直线CD过定点.若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点.综上，直线CD过定点.
