课后限时集训(五十八) 圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时：40分钟1．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．[解] (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4)．因为＋≥4(0<x≤4)，且当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|，且cos∠F1PF2＝.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．[解] (1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2.①\n又r1＋r2＝2a，②联立①②，解得r1＝a，r2＝a.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝，解得a2＝4.因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，于是椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝(8km)2－4×(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)＞0.③设线段AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，又Q，M为线段AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，所以k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－.④把④代入③，得3＋4k2＞，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为∪.3.如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.\n(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．[解] (1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－<x<，所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝.因为|PA|＝＝(k＋1)，|PQ|＝(xQ－x)＝－，所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.
