课后限时集训(五十九) 圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：40分钟1．(2020·合肥模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q(1,0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．[解] (1)由离心率为得，＝ ①.由△A1A2B的面积为2得，ab＝2 ②.a2＝b2＋c2 ③，∴联立①②③解得，a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)记点M，N的坐标分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)．注意到A1(－2,0)，∴直线PA1的方程为y＝(x＋2)，与椭圆＋y2＝1联立并整理得(m2＋9)x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝得x1＝，代入直线PA1的方程得y1＝，即M.同理可得N.∵Q(1,0)，∴＝，＝，由·＝·知，M，Q，N三点共线．2．(2020·济南模拟)已知Q为圆x2＋y2＝1上一动点，Q在x轴、y轴上的射影分别为点A，B，动点P满足＝，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于M，N两点，判断以MN为直径的圆是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．[解] (1)设Q(x0，y0)，P(x，y)，则x＋y＝1，\n由＝，可得，代入x＋y＝1，得＋y2＝1，故曲线C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点在y轴上，设定点为H(0，m)，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－，由得(1＋4k2)x2－kx－＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－＝－，y1y2＝＝k2x1x2－k(x1＋x2)＋＝.因为＝(x1，y1－m)，＝(x2，y2－m)，所以·＝x1x2＋y1y2－m(y1＋y2)＋m2＝＝0，对任意的k恒成立，所以解得m＝1，即定点为H(0,1)，当直线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆也过点(0,1)，故以MN为直径的圆过定点(0,1)．3．设D是圆O：x2＋y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|＝|ED|.当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知点P(2,3)，过F(2,0)的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M.试判断直线PA，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列，并说明理由．[解] (1)设点Q(x，y)，D(x0，y0)，因为2|EQ|＝|ED|，点Q在直线m上，所以x0＝x，|y0|＝|y|. ①因为点D在圆O：x2＋y2＝16上运动，所以x＋y＝16. ②\n将①代入②，可得x2＋＝16.即曲线C的方程为＋＝1.(2)直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列，理由如下．由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝8，得点M的坐标为(8,6k)．由消去y，并整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝. ③记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.因为直线AB的方程为y＝k(x－2)，所以y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，所以k1＋k2＝＋＝＋－3＝2k－3×. ④把③代入④，得k1＋k2＝2k－3×＝2k－1.又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3，于是直线PA，PM，PB的斜率依次构成等差数列．
