课时作业(二十五) 正弦定理和余弦定理的应用举例一、选择题1．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )A．10km B．10kmC．10km D．10km答案：D解析：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10，故应选D.2．(2015·北京模拟)一艘渡轮从A出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，渡轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里答案：A解析：如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，AB＝40×＝20(海里)，∠BCA＝45°，∴由正弦定理，可得＝，∴BC＝＝10(海里)．故应选A.3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B.在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50mB．100mC．120mD．150m答案：A解析：设水柱的高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，7\nAC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.故应选A.4．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为( )A.B．C．D．答案：A解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)，EF＝＝＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.故应选A.5．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)( )7\nA．180米B．214米 C．242米D．266米答案：C解析：如图，∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，＝，∴BC＝.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝≈242(米)．故应选C.6．(2015·云南调研)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，则乙船的速度为( )A．25海里/小时B．25海里/小时C．30海里/小时D．30海里/小时答案：D解析：如图，连接A1B2，由题知A1A2＝30×＝10，A2B2＝10，又∠A1A2B2＝60°，∴△A1A2B2为正三角形，从而A1B2＝10，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，7\n又A1B1＝20，在△B1A1B2中，由余弦定理，得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.∴B1B2＝10，∴乙船的速度为×60＝30(海里/小时)，故应选D.二、填空题7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.答案：－1解析：如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.8．(2015·沈阳模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB＝________.e答案：s解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝s.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tan30°＝s.9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B7\n的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．答案：10解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得＝，则BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°＝，所以AB＝BCtan60°＝10(米)．10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案：50解析：连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.三、解答题11．如图，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A，C之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A，C之间距离的步骤和结果．解：第一步：在△AEF中，利用正弦定理，7\n＝，解得AE＝；第二步：在△CEF中，同理可得CE＝；第三步：在△ACE中，利用余弦定理，AC＝＝.12．(2015·沈阳模拟)海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设游船匀速行驶)(1)求该船行驶的速度(单位：米/分钟)；(2)又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝10米，则BC＝10米；在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝10米，则BD＝10米；在Rt△BCD中，∠CBD＝75°＋15°＝90°，则CD＝＝20米，所以速度v＝＝20米/分钟．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°，在△BCE中，由正弦定理可知＝，所以EB＝＝5米．13．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.7\n(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(＝1.414，＝1.732)解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosC＝＝，在△ABD中，由余弦定理，得cosD＝＝，由∠C＝∠D，得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用最低．理由如下：易知S△ABD＝AD·BDsinD，S△ABC＝AC·BCsinC，因为AD·BD>AC·BC，且∠C＝∠D，所以S△ABD>S△ABC.故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低．因为AD＝BD＝AB＝7，所以△ABD是等边三角形，∠D＝60°，所以∠C＝60°，故S△ABC＝AC·BCsinC＝10，故所求的最低造价为5000×10＝50000≈86600元．7
