课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( )A.B．±C．±9D．9解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝，则f(x)＝x＝，故f(m)＝＝3⇒m＝9，选D.答案：D2．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过的象限是( )A．第二象限B．第三象限C．第四象限D．第二、四象限解析：画出函数图象即可．答案：D3．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．lgx>x>2xB．2x>lgx>xC．x>2x>lgxD．2x>x>lgx解析：当x∈(0,1)时，2x∈(1,2)，x∈(0,1)，lgx∈(－∞，0)，所以2x>x>lgx.答案：D4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )解析：∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0.答案：D6\n5．定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x2－x，则当x∈[－2，－1]时，f(x)的最小值为( )A．－B．－C．－D．0解析：设x∈[－2，－1]，则x＋2∈[0,1]，则f(x＋2)＝(x＋2)2－(x＋2)，又f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝2f(x＋1)＝4f(x)，∴f(x)＝(x2＋3x＋2)，∴当x＝－时，取到最小值为－.答案：A6．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．a<－2B．a>－2C．a>－6D．a<－6解析：不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以g(x)≤g(4)＝－2，所以a<－2.答案：A二、填空题7．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，b＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x2＋48．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．解析：因为f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a2＝4b，所以x2＋ax＋－c<0的解集为(m，m＋6)，易得m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.6\n答案：99．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．解析：当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴当x1∈[－1,2]时，g(x1)∈[－1,3]．当a>0时，解得a≤.综上所述，实数a的取值范围是.答案：三、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，对称轴x＝－∈[－2,3]，∴f(x)min＝f＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；②当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知a＝－或－1.11．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)，6\n∴f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a]．∴即解得a＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2.∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3.又a≥2，∴2≤a≤3.故实数a的取值范围是[2,3]．1．幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如上图所示，则m与n的取值情况为( )A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1解析：6\n在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在(0,1)内作直线x＝x0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1<n<0<m<1，故选D.答案：D2．对任意实数a，b定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x2－1)⊗(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( )A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0)D．[－2,1)解析：当x2－1－(4＋x)≥1时，x≥3或x≤－2；当x2－1－(4＋x)<1时－2<x<3，故f(x)＝，f(x)的图象如下图所示，y＝f(x)＋k的图象与x轴有三个不同交点转化为y＝f(x)与y＝－k有三个不同交点，由图可知－1<－k≤2，故－2≤k<1.答案：D3．若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1、x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________．6\n解析：由题意可得，当x∈[t－1，t＋1]时，[f(x)max－f(x)min]min≥8，又在二次函数的图象上，区间[t－1，t＋1]离对称轴越远，f(x)max－f(x)min越大，所以当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时，f(x)max－f(x)min取得最小值，为f(t＋1)－f(t)＝a≥8，所以实数a的最小值为8.答案：84．已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a.其中a∈R且a≠0.(1)若函数f(x)与g(x)的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；(2)若p和q是方程f(x)－g(x)＝0的两根，且满足0<p<q<，证明：当x∈(0，p)时，g(x)<f(x)<p－a.解：(1)设函数g(x)图象与x轴的交点坐标为(a,0)，又∵点(a,0)也在函数f(x)的图象上，∴a3＋a2＝0.而a≠0，∴a＝－1.(2)由题意可知f(x)－g(x)＝a(x－p)(x－q)．∵0<x<p<q<，∴a(x－p)(x－q)>0，∴当x∈(0，p)时，f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．又f(x)－(p－a)＝a(x－p)(x－q)＋x－a－(p－a)＝(x－p)(ax－aq＋1)，x－p<0，且ax－aq＋1>1－aq>0，∴f(x)－(p－a)<0，∴f(x)<p－a，综上可知，g(x)<f(x)<p－a.6
