课时作业22 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos(2x－)的最小正周期是( )A.B．πC．2πD．4π解析：由周期公式T＝，得T＝＝π，故选B.答案：B2．(2014·大纲卷)设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则( )A．a>b>cB．b>c>aC．c>b>aD．c>a>b解析：b＝cos55°＝sin35°，由正弦函数在[0,90°]上递增知，b>a，排除A、D，又当x∈[0,90°]时总有tanx>sinx，∴c>b，从而c>b>a.答案：C3．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.B.C．2D．3解析：∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.由已知条件知－≤－，∴ω≥.答案：B4．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则( )A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数7\nB．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数解析：f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.又∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin＝2cos2x.易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．答案：B5．将函数f(x)＝sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是( )A．(kπ－，kπ)(k∈Z)B．(kπ，kπ＋)(k∈Z)C．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)D．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)解析：因为y＝sinxcosx＝sin2x，将其图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，由于函数y＝cosx的增区间是(2kπ－π，2kπ)(k∈Z)，∴函数g(x)＝cos2x的增区间满足2kπ－π<2x<2kπ，即kπ－<x<kπ，故g(x)的增区间是(kπ－，kπ)(k∈Z)．7\n答案：A6．已知函数f(x)＝2sinx(cosx－sinx)＋1，若f(x－φ)为偶函数，则φ可以为( )A.B.C.D.解析：f(x)＝2sinxcosx－2sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，所以f(x－φ)＝2sin(2x＋－2φ)，由f(x－φ)为偶函数得－2φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝－－，(k∈Z)，令k＝－1，可得φ＝.答案：B二、填空题7．函数y＝log3(2cosx＋1)，x∈(－，)的值域是________．解析：x∈(－，)，由y＝2cosx＋1在(－π，0]上单调递增，在[0，)上单调递减得0<2cosx＋1≤3，故y＝log3(2cosx＋1)的值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．已知函数f(x)＝2sin(2ωx－)(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题意可知，函数f(x)＝2sin(πx－)，令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ，解得－＋2k≤x≤＋2k，k∈Z，又x∈[－1,1]，所以－≤x≤，所以函数f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为[－，]．答案：[－，]9．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝f()＝－f()，则f(x7\n)的最小正周期为________．解析：由f(x)在区间[，]上具有单调性，且f()＝－f()知，f(x)有对称中心(，0)由f()＝f(π)知f(x)有对称轴x＝(＋π)＝π，记T为最小正周期，则T≥－⇒T≥π，从而π－＝，故T＝π.答案：π三、解答题10．已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝4cosxsin(x＋)－1＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤于是，当2x＋＝即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－即x＝－，f(x)取得最小值－1.11．设函数f(x)＝sin－2cos2.(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0,1]时，函数y＝g(x)的最大值．解：(1)由题意知f(x)＝sin－cos－1＝·sin－1，所以y＝f(x7\n)的最小正周期T＝＝6.由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以当x∈[0,1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3,4]时，y＝f(x)的最大值，当x∈[3,4]时，x－∈.此时f(x)max＝×－1＝，即y＝g(x)的最大值为.1．函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数的θ值可以是( )A．－B．－C.D.解析：函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，若为奇函数，则应有θ＋＝kπ，即θ＝kπ－.故排除B、C，当θ＝－时．f(x)＝2sin2x它在上是增函数，不符合题意，故选D.答案：D2．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)满足f(x)＝－f(x＋π)，f(0)＝，则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间[0，]上的最大值为( )A．1B.C.D．27\n解析：由f(x)＝－f(x＋π)可得f(x＋2π)＝f(x)，显然函数f(x)的周期为2π，所以ω＝＝1，由f(0)＝得sinφ＝，又|φ|<，所以φ＝，因此g(x)＝2cos(x＋)．因为0≤x≤，所以≤x＋≤，－≤cos(x＋)≤，因此g(x)max＝.答案：C3．已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为3，则(1)m＝________；(2)对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为________．解析：(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m＝sin2x＋1＋cos2x＋m＝2sin＋m＋1，因为0≤x≤，所以≤2x＋≤.所以－≤sin≤1，f(x)max＝2＋m＋1＝3＋m＝3，所以m＝0.(2)由(1)知f(x)＝2sin＋1，T＝＝π，在区间[a，a＋20π]上有20个周期，故零点个数为40或41.答案：(1)0 (2)40或414．已知m＝(asinx，cosx)，n＝(sinx，bsinx)，其中a，b，x∈R.若f(x)＝m·n满足f()＝2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝对称．(1)求a，b的值；(2)若关于x的方程f(x)＋log2k＝0在区间[0，]上总有实数解，求实数k的取值范围．解：(1)f(x)＝m·n＝asin2x＋bsinxcosx＝(1－cos2x)＋sin2x.由f()＝2，得a＋b＝8.①∵f′(x)＝asin2x＋bcos2x，且f′(x)的图象关于直线x＝对称，∴f′(0)＝f′()，∴b＝a＋b，即b＝a.②由①②得，a＝2，b＝2.(2)由(1)得7\nf(x)＝1－cos2x＋sin2x＝2sin(2x－)＋1.∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，∴0≤2sin(2x－)＋1≤3，即f(x)∈[0,3]．又f(x)＋log2k＝0在[0，]上有解，即f(x)＝－log2k在[0，]上有解，∴－3≤log2k≤0，解得≤k≤1，即k∈[，1]．7
