第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲 函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=cosxB.y=x2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sinx·ln(mx+1+4x2)的图象关于y轴对称,则m=( )A.2B.4C.±2D.±43.[2020郑州三模]若函数f(x)=ex-x+2a,x>0,(a-1)x+3a-2,x≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,3]C.[12,1)D.(1,2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=( )A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2021)=( )A.809B.811C.1011D.10136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=2xcosx4x+a是偶函数,则函数f(x)的最大值为( )A.1B.2C.12D.37.[2021济南名校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是( )A.f(192)<f(e12)<f(ln2)B.f(e12)<f(ln2)<f(192)C.f(ln2)<f(192)<f(e12)D.f(ln2)<f(e12)<f(192)8.[2020陕西省百校联考]函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.(-∞,0]∪[4,+∞)\nD.[0,4]9.[2020江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=sinx,x∈[0,1),f(x-1),x∈[1,+∞),则f(-π6-5)= . 10.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为 . 11.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(2-0.3),c=f(log20.2),则( )A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a12.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y=f(x-1)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)13.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]14.[2020长春市质量监测]已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(2+x)+f(x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2-2x,则当x∈[4,6]时,y=f(x)的最小值为( )A.-8B.-1C.0D.115.[2020广东七校联考]已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1-1x+4)的所有x之积为( )A.3B.-3C.-39D.3916.[原创题]设增函数f(x)=lnx,x>1,-1+axx,0<x≤1的值域为R,若不等式f(x)≥x+b的解集为{x|c≤x≤e},则实数c的值为( )A.e-e2-42B.e+e2-42C.e±e2-42D.12答案第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲 函数的基本性质\n1.D 函数y=cosx是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cosx在(0,+∞)上不具有单调性,所以A选项不符合题意;函数y=x2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B选项不符合题意;函数y=ln|x|=lnx,x>0,ln(-x),x<0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C选项不符合题意;函数y=e-|x|=e-x,x≥0,ex,x<0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D选项符合题意.故选D.【归纳总结】 若函数y=f(|x|)的定义域关于原点对称,则函数y=f(|x|)一定为偶函数.2.C ∵f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sinx为奇函数,∴y=ln(mx+1+4x2)为奇函数,即ln[-mx+1+4·(-x)2]+ln(mx+1+4x2)=0,即ln(1+4x2-m2x2)=0,1+4x2-m2x2=1,解得m=±2.故选C.3.B 当x>0时,f(x)=ex-x+2a,则f'(x)=ex-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e0-0+2a≥(a-1)×0+3a-2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.4.C 依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a ①,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,即f(x)+g(x)=-x3+x2+a ②,②-①得2g(x)=-2x3,g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8.故选C.5.A 由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2021)=f(1)+2×404=809.故选A.6.C 解法一 因为函数f(x)=2xcosx4x+a是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-xcos(-x)4-x+a=2xcosx4x+a,化简可得a(4x-1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2xcosx4x+1=cosx2x+2-x.又cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤12.故选C.解法二 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a=21cos14+a,解得a=1,所以f(x)=2xcosx4x+1=cosx2x+2-x.因为cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max=12,故选C.7.A 由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e12<2,0<ln2<1,所以0<ln2<e12<52<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)<f(e12)<f(ln2),即f(192)<f(e12)<f(ln2),故选A.8.D 依题意得,函数f(x)是偶函数,则f(x-2)≤1,即f(|x-2|)≤f(|-2|).由函数f(x)在[0,+∞)上单调递增得|x-2|≤2,即-2≤x-2≤2,0≤x≤4.所以满足f(x-2)≤1的x的取值范围是[0,4],故选D.9.12 因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-π6-5)=f(π6+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(π6+5)=f(π6+4)=…=f(π6).又0<π6<1,所以f(π6)=sinπ6=12.故f(-π6-5)=12.\n10.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+(6a-6)x2对任意x均成立,所以6a-6=0,且2a3-6a2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二 由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).【方法技巧】 三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其图象的对称中心为(-b3a,f(-b3a)).11.D f(x)=x+cosx,则f'(x)=1-sinx≥0,所以f(x)在R上单调递增,又log20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f(log20.2)<f(2-0.3)<f(103),即c<b<a.12.D 由题可知y=f(x-1)的图象关于y轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.13.A 根据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以22x-1≥24,x>1,x-1>1,解得x≥52.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[52,+∞).14.B 由f(2+x)+f(x)=0,得函数f(x)是以4为周期的周期函数.设x∈[0,2],则-x∈[-2,0],f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x.因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1时,f(x)取得最小值-1.由周期函数的性质知,当x∈[4,6]时,y=f(x)的最小值是-1,故选B.15.D 因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x1,x2,则x1x2=-3;由4-x=1-1x+4,得x2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x3,x4,则x3x4=-13.所以x1x2x3x4=39.故选D.16.A 当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞),当0<x≤1时,-1+axx=a-1x≤a-1,即f(x)∈(-∞,a-1].因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)=lnx,x>1,-1+xx,0<x≤1.因为不等式f(x)≥x+b的解集为{x|c≤x≤e},易知lnx=x+b的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令-1+xx=x+1-e,得x2-ex+1=0,从而x=e-e2-42,则c=e-e2-42,故选A.
