第二章函数的概念与基本初等函数I第五讲对数与对数函数练好题·考点自测1.下列说法正确的是( )①若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.②对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.③函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.④对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1),(1a,-1),函数图象只在第一、四象限. A.①③④B.①③C.③④D.④2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=loga(x+12)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )3.[2020全国卷Ⅰ,8,5分]设alog34=2,则4-a=( )A.116B.19C.18D.164.[2020全国卷Ⅱ,9,5分][理]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)( )A.是偶函数,且在(12,+∞)单调递增B.是奇函数,且在(-12,12)单调递减C.是偶函数,且在(-∞,-12)单调递增D.是奇函数,且在(-∞,-12)单调递减5.[2020全国卷Ⅲ,12,5分][理]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b6.[2019全国卷Ⅱ,14,5分][理]已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln2)=8,则a= . 7.[2018全国卷Ⅲ,16,5分]已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)= . 8.[2016浙江,12,6分][理]已知a>b>1.若logab+logba=52,ab=ba,则a= ,b= . 第4页共4页\n拓展变式1.[2021安徽省四校联考]已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab=( )A.2B.3C.5D.62.(1)[2019天津,6,5分][理]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)[2020海南,7,5分]已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B.(-∞,2]C.[2,+∞)D.[5,+∞)3.里氏震级M的计算公式为M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.4.设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则x2,y3,z5的大小关系不可能是( )A.x2<y3<z5B.y3<x2<z5C.x2=y3=z5D.z5<y3<x2答案第五讲 对数与对数函数1.C 对于①,当M<0,N<0时不成立;对于②,当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,故②不成立;对于③,函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域均为(-1,1),故③正确;对于④,由对数函数的图象与性质可知④正确.故说法正确的是③④,选C.2.D 解法一 若0<a<1,则函数y=1ax是增函数,y=loga(x+12)是减函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,选项D可能成立;若a>1,则y=1ax是减函数,而y=loga(x+12)是增函数且其图象过点(12,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D.第4页共4页\n解法二 分别取a=12和a=2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D.3.B 解法一 因为alog34=2,所以log34a=2,则有4a=32=9,所以4-a=14a=19,故选B.解法二 因为alog34=2,所以a=2log34=log39log34=log49,所以4-a=14a=19,故选B.解法三 令4-a=t,两边同时取对数得log34-a=log3t,即-alog34=log3t,即alog34=-log3t=log31t,因为alog34=2,所以log31t=2,所以1t=32=9,所以t=19,即4-a=19,故选B.4.D 由2x+1≠0,2x-1≠0,得函数f(x)的定义域为(-∞,-12)∪(-12,12)∪(12,+∞),其关于原点对称,因为f(-x)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.当x∈(-12,12)时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),易知函数f(x)单调递增,排除B.当x∈(-∞,-12)时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln2x+12x-1=ln(1+22x-1),易知函数f(x)单调递减,故选D.5.A 55<84⇒ln55<ln84⇒5ln5<4ln8,所以45>ln5ln8=log85=b;同理134<85⇒ln134<ln85⇒4ln13<5ln8,所以45<ln8ln13=log138=c;34<53⇒ln34<ln53⇒4ln3<3ln5,所以34>ln3ln5=log53=a;83<54⇒ln83<ln54⇒3ln8<4ln5,所以34<ln5ln8=log85=b.综上可知,a<34<b<45<c,故选A.6.-3 当x>0时,-x<0,f(-x)=-e-ax.因为函数f(x)为奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=e-ax,所以f(ln2)=e-aln2=(12)a=8,所以a=-3.7.-2 解法一 由f(a)=ln(1+a2-a)+1=4,得ln(1+a2-a)=3,所以f(-a)=ln(1+a2+a)+1=-ln11+a2+a+1=-ln(1+a2-a)+1=-3+1=-2.解法二 因为f(x)=ln(1+x2-x)+1,所以f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+ln(1+x2+x)+2=2.故f(a)+f(-a)=2,所以f(-a)=2-4=-2.8.4 2 因为a>b>1,所以logab∈(0,1).因为logab+logba=52,即logab+1logab=52,所以logab=12或logab=2(舍去),所以a12=b,即a=b2.所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,所以b2=2b,解得b=2或b=0(舍去),所以a=b2=4.1.D 设log2a=log3b=t,则a=2t,b=3t,所以a+b=2t+3t=5.因为函数f(t)=2t+3t为增函数,且f(1)=5,所以t=1,所以a=2,b=3,所以ab=6,故选D.2.(1)A 因为a=log52<log55=12,c=0.50.2>0.51=12,故a<c;因为b=log0.50.2>log0.50.25=2,c=0.50.2<0.50=1,故c<b.所以a<c<b.故选A.第4页共4页\n(2)D 由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).又函数y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增,所以a≥5,故选D.3.6 10000 根据题意,由lg1000-lg0.001=6得此次地震的震级为6级,因为标准地震的振幅为0.001,设9级地震的最大振幅为A9,则lgA9-lg0.001=9,解得A9=106,同理可得5级地震的最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍.4.B 解法一 取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知x2=y3=z5,此时选项C成立.取x=4,则由log2x=log3y=log5z得y=9,z=25,此时易知x2<y3<z5,此时选项A成立.取x=2,则由log2x=log3y=log5z得y=3,z=5,此时易知z5<y3<x2,此时选项D成立.综上,利用排除法可知选B.解法二 设log2x=log3y=log5z=k,则x=2k,y=3k,z=5k,所以x2=2k-1,y3=3k-1,z5=5k-1.由题意知k>0,接下来对k与1的大小关系加以讨论.若k=1,则x2=1,y3=1,z5=1,所以x2=y3=z5,所以选项C有可能成立.若0<k<1,则根据函数f(t)=tk-1在(0,+∞)上单调递减可得2k-1>3k-1>5k-1,所以z5<y3<x2,所以选项D有可能成立.若k>1,则根据函数f(t)=tk-1在(0,+∞)上单调递增可得2k-1<3k-1<5k-1,所以x2<y3<z5,所以选项A有可能成立.综上,利用排除法可知选B.第4页共4页
