选修4-4 坐标系与参数方程练好题·考点自测1.[改编题]下面结论正确的个数是( )(1)tanθ=1与θ=π4表示同一条曲线.(2)点P的直角坐标为(-2,2),那么它的极坐标为(2,3π4).(3)过极点的倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α和θ=π+α.(4)圆心在极轴上的点(a,0)(a>0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.A.1B.2C.3D.42.若曲线C的参数方程为x=1+cos2θ,y=sin2θ(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是( )A.直线x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1)2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段3.[2019天津,12,5分][文]设a∈R,直线ax-y+2=0和圆x=2+2cosθ,y=1+2sinθ(θ为参数)相切,则a的值为 . 4.[2020全国卷Ⅱ,23,10分][文]已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:x=4cos2θ,y=4sin2θ(θ为参数),C2:x=t+1t,y=t-1t(t为参数).(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程.(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.拓展变式1.[2018全国卷Ⅰ,22,10分][文]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.\n2.[2021陕西省部分学校摸底检测]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3+sinφ-2cosφ,y=cosφ+2sinφ(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+2=0.(1)求曲线C1的极坐标方程并判断C1,C2的位置关系;(2)设直线θ=α(-π2<α<π2,ρ∈R)分别与曲线C1交于A,B两点,与曲线C2交于P点,若|AB|=3|OA|,求|OP|的值.3.[2018全国卷Ⅲ,22,10分][文]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),过点(0,-2)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.4.[2020广东珠海三模]在参数方程x=a+tcosθ,y=b+tsinθ(θ为直线l的倾斜角,t为参数)所表示的直线l上有B,C两点,它们对应的参数分别为t1,t2.(1)求线段BC的中点M对应的参数;(2)若a=b=1,直线l与曲线y2=2x交于点S,T,且(1,1)是弦ST的中点,求此时直线l的普通方程.5.[2020东北三省四市二模]已知曲线C的极坐标方程为ρ2=123+sin2θ,直线l的参数方程为x=2-255t,y=3+55t(t为参数).(1)求曲线C的一个参数方程和直线l的普通方程;(2)设点P为曲线C上的动点,点M和点N为直线l上的点,且|MN|=2,求△PMN面积的取值范围.答案选修4-4 坐标系与参数方程\n1.A 对于(1),tanθ=1与θ=π4或θ=5π4表示同一条曲线,故(1)错误;对于(2),极坐标的表示方法不唯一,故(2)错误;对于(3),由直线的极坐标方程概念可知正确;对于(4),设M为圆上任意一点,由圆的性质可得,cosθ=|OM|2a=ρ2a,所以ρ=2acosθ,故(4)错误.故正确结论的个数为1,选A.2.D 将曲线的参数方程化为普通方程,得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).故曲线C上的点的轨迹是一条以(2,0)和(0,1)为端点的线段.3.34 由已知条件可得圆的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得|2a-1+2|a2+1=2,解得a=34.4.(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).由C2的参数方程得x2=t2+1t2+2,y2=t2+1t2-2,所以x2-y2=4.故C2的普通方程为x2-y2=4.(2)由x+y=4,x2-y2=4得x=52,y=32,所以P的直角坐标为(52,32).设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得x02=(x0-52)2+94,解得x0=1710.因此,所求圆的极坐标方程为ρ=175cosθ.1.(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)解法一(几何法) 由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.解法二(代数法) 因为y=k|x|+2,(x+1)2+y2=4,所以(x+1)2+(k|x|+2)2=4,\n所以(1+k2)x2+(2x+4k|x|)+1=0,所以x≥0,(1+k2)x2+(2+4k)x+1=0或x<0,(1+k2)x2+(2-4k)x+1=0.交点个数等于方程组解的个数和,显然每个方程组最多有两个解,所以只能一个方程组有一个解,一个方程组有两个解.所以Δ1=(2+4k)2-4(1+k2)=0或Δ2=(2-4k)2-4(1+k2)=0,所以k=0或k=43或k=-43.经检验可知:当k=0时,曲线C1的方程为y=2,曲线C1与圆只有一个交点,故舍去;当k=43时,曲线C1的方程为y=43|x|+2,曲线C1与圆没有交点;当k=-43时,曲线C1的方程为y=-43|x|+2,曲线C1与圆有且只有三个交点.所以曲线C1的方程为y=-43|x|+2.2.(1)曲线C1:x-3=sinφ-2cosφ ①,y=cosφ+2sinφ ②,①2+②2得(x-3)2+y2=5,即x2+y2-6x+4=0,将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式,得曲线C1的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+4=0.由ρ2-6ρcosθ+4=0,ρcosθ+2=0得ρ2+16=0,此方程无解,所以C1,C2相离.(2)由ρ2-6ρcosθ+4=0,θ=α得ρ2-6ρcosα+4=0,因为直线θ=α与曲线C1有A,B两个交点,所以Δ=36cos2α-16>0,得cosα>23.设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1,ρ2是方程ρ2-6ρcosα+4=0的两根,则ρ1+ρ2=6cosα>0 ③,ρ1ρ2=4 ④.因为|AB|=3|OA|,所以|OB|=4|OA|,即ρ2=4ρ1 ⑤,由③④⑤解得ρ1=1,ρ2=4,cosα=56,满足Δ>0,由ρcosθ+2=0,θ=α得ρ=-2cosα=-125,所以|OP|=|ρ|=125.3.(1)☉O的普通方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.\n当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx-2.因为l与☉O交于两点,所以|-2|1+k2<1,解得k<-1或k>1,即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4).综上,α的取值范围是(π4,3π4).(2)l的参数方程为x=tcosα,y=-2+tsinα(t为参数,π4<α<3π4).设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=tA+tB2,且tA,tB满足t2-22tsinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosα,y=-2+tPsinα,所以点P的轨迹的参数方程是x=22sin2α,y=-22-22cos2α(α为参数,π4<α<3π4).4.(1)设B(xB,yB),C(xC,yC),M(xM,yM).由参数方程得xB=a+t1cosθ,yB=b+t1sinθ,xC=a+t2cosθ,yC=b+t2sinθ,于是xM=xB+xC2=a+t1+t22cosθ,yM=yB+yC2=b+t1+t22sinθ.所以线段BC的中点M对应的参数是t1+t22.(2)将x=1+tcosθ,y=1+tsinθ(t为参数)代入y2=2x中,得到(1+tsinθ)2=2(1+tcosθ),即sin2θ·t2+(2sinθ-2cosθ)t-1=0.易知Δ>0,所以S,T对应的参数t3,t4满足t3+t4=-2sinθ-2cosθsin2θ.由(1)知,(1,1)对应的参数是t3+t42=-sinθ-cosθsin2θ,其值为零,即sinθ-cosθ=0,所以tanθ=1.故此时直线l的普通方程是y-1=1·(x-1),即x-y=0.【思维拓展】 在本题中,如果点P在直线BC上,且BP=λPC(λ≠-1),则点P对应的参数是t1+λt21+λ.5.(1)由ρ2=123+sin2θ得,3ρ2+ρ2sin2θ=12,即3(x2+y2)+y2=12,整理得x24+y23=1.故曲线C的一个参数方程是x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).将55t=y-3代入x=2-255t中,得x=2-2(y-3).整理得直线l的普通方程是x+2y-8=0.(2)设P(2cosθ,3sinθ),则S△PMN=12×2×|2cosθ+23sinθ-8|5=|4sin(θ+π6)-8|5.\n因为|4sin(θ+π6)-8|max=12,|4sin(θ+π6)-8|min=4,所以△PMN面积的取值范围是[455,1255].
