第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数的图象1.[2021江西红色七校第一次联考]函数f(x)=x2|ex-1|的图象大致是( )2.函数f(x)=ln(x-1x),x>1,ecosπx,x≤1的图象大致是( ) A B C D3.[函数图象在实际生活中的应用]小陈在如图2-6-1所示的跑道上匀速竞走,他从点A出发,沿箭头方向经过点B竞走到点C,共用时30s,他的教练在一个固定的位置观察小陈竞走,设小陈竞走的时间为t(单位:s),他与教练间的距离为y(单位:m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2-6-2所示,则这个固定位置可能是图2-6-1中的(注:点N为跑道的中心,点A,C关于点N对称)( )\nA.点MB.点NC.点PD.点Q4.[2020湖北、山东部分重点中学联考]已知二次函数f(x)的图象如图2-6-3所示,则函数g(x)=f(x)·ex的图象为( )图2-6-35.[2021江苏扬州模拟]已知函数f(x)=2+log12x,18≤x<1,2x,1≤x≤2,若f(a)=f(b)(a<b),则ab的最小值为( )A.22B.12C.24D.536.[2020南昌市三模]已知函数f(x)满足当x≤0时,2f(x-2)=f(x),且当x∈(-2,0]时,f(x)=|x+1|-1;当x>0时,f(x)=logax(a>0且a≠1).若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则a的取值范围是( )A.(625,+∞)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)7.[2020安徽省示范高中名校联考]对于函数f(x)=sinπx,x∈[0,2],12f(x-2),x∈(2,+∞),现有下列结论:①任取x1,x2∈[2,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤1;②函数y=f(x)在[4,5]上单调递增;\n③函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点;④若关于x的方程f(x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=132.其中正确结论的序号是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④8.[2020福建永安一中4月模拟]如图2-6-4,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1m的圆O,在t=0s时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x(单位:m),令y=cosx,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为图2-6-4( )答案第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ第六讲 函数的图象\n1.A 解法一 函数f(x)=x2|ex-1|的定义域为{x|x≠0},f(-x)=(-x)2|e-x-1|=x2|1ex-1|=exx2|1-ex|,所以f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以f(x)=x2|ex-1|既不是奇函数也不是偶函数,排除C;当x→+∞时,f(x)→0,排除D;当x<0时,f(x)=x2|ex-1|>0,排除B.故选A.解法二 f(-1)=(-1)2|e-1-1|>0,排除B;f(1)=12|e-1|≠f(-1),排除C;f(4)f(2)=42|e4-1|22|e2-1|=4e2+1<1,所以f(4)<f(2),排除D.故选A.2.A 当x>1时,y=x-1x单调递增,所以y=ln(x-1x)在(1,+∞)上单调递增,排除B,C;当0<x<1时,πx∈(0,π),则y=cosπx在(0,1)上单调递减,所以y=ecosπx在(0,1)上单调递减,排除D.选A.3.D 由题图可知,教练所在的固定位置到点A的距离大于到点C的距离,所以排除点N,M;若这个固定位置是点P,则y关于t的函数达到最大值后单调递减,与题图矛盾,排除点P.则固定位置可能为点Q,选D.4.A 由函数f(x)的图象结合题意知,当x<-1或x>1时,g(x)>0;当-1<x<1时,g(x)<0,由选项可知选A.5.B f(18)=2+log1218=5,f(2)=22=4,f(1)=2,作出函数f(x)的大致图象,如图D2-6-2所示.设k=f(a)=f(b)∈(2,4],由2+log12a=k,2b=k,得a=(12)k-2,b=log2k.当k=4时,a=14,b=2,ab=12.则当k∈(2,4]时,ab-12=(12)k-2×log2k-12=(12)k-2(log2k-2k-3).在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x与y=2x-3的图象,如图D2-6-3所示.则由图D2-6-3可知,当x∈(2,4]时,log2x-2x-3≥0,所以ab-12≥0,即ab≥12,故ab的最小值为12,故选B.【解后反思】 本题通过在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x与y=2x-3的图象,直观得出当x∈(2,4]时,log2x-2x-3≥0,进而得ab≥12.这种方法避免了对函数g(k)=(12)k-2×log2k实施求导求其单调区间和最值的烦琐计算,彰显了利用数形结合方法解题的优越性,将抽象问题变得直观形象,复杂问题变得简单明了.\n6.C 当x≤0时,由2f(x-2)=f(x),得f(x-2)=12f(x).又当x∈(-2,0]时,f(x)=|x+1|-1,所以当x∈(-4,-2]时,f(x)=|x+3|2-12,当x∈(-6,-4]时,f(x)=|x+5|4-14,由此可作出函数f(x)在(-∞,0]上的图象,如图D2-6-4所示.若函数f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则y=logax的图象关于原点对称的图象与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点.作出y=logax的图象及其关于原点对称的图象,当0<a<1时,y=logax关于原点对称的图象不可能与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点,当a>1时,要使y=logax关于原点对称的图象与f(x)在(-∞,0]上的图象有3个交点,则a>1,-loga3>-12,-loga5<-14,解得9<a<625,故选C.图D2-6-47.C f(x)=sinπx,x∈[0,2],12f(x-2),x∈(2,+∞)的图象如图D2-6-5所示,①当x∈[2,+∞)时,f(x)的最大值为12,最小值为-12,∴任取x1,x2∈[2,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,故①正确;图D2-6-5②函数y=f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同,则函数y=f(x)在[4,5]上不单调,故②错误;③作出y=ln(x-1)的图象,结合图象,易知y=ln(x-1)的图象与f(x)的图象有3个交点,∴函数y=f(x)-ln(x-1)有3个零点,故③正确;④若关于x的方程f(x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3,则x1+x2=3,x3=72,∴x1+x2+x3=132,故④正确.故选C.8.B 取t=0,则x=0,此时y=cosx=1,所以函数y=f(t)的图象经过点(0,1),据此可排除选项A,D.(或者取t=1,易知x=π,此时y=cosx=-1,所以函数y=f(t)的图象经过点(1,-1),据此可排除选项A,D)取t=12,设圆O与l2的交点为C,D,连接OC,OD.画出图形(如图D2-6-6所示),此时OA=12,OD=1,OA⊥CD,所以∠AOD=π3,所以∠COD=2∠AOD=2π3,从而可知x=1×2π3=2π3,此时y=cosx=-12,所以函数y=f(t)的图象经过点(12,-12),据此可排除选项C.选B.\n图D2-6-6
